Differente

Die Differente ist ein Begriff aus der algebraischen Zahlentheorie.

Vorbereitung

Es sei $K$ ein Zahlkörper und $S:K\to \mathbb{Q}$ die Spur. Dann ist $M^{\star }=\{\tilde{\omega }\in K;S(\tilde{\omega }M)\subset \mathbb{Z}\}$ das duale Gitter von $M$ in $K$ bezüglich der nicht ausgearteten $\mathbb{Q}$-Bilinearform $⟨\alpha ,\beta ⟩=S(\alpha \beta )$ mit $\alpha ,\beta \in K$. Die duale Basis besitzt bezüglich der Basis ${\omega }_i$ des Gitters $M$ die Kronecker-Eigenschaft $S({\omega }_i{\tilde{\omega }}_j)={\delta }_{ij}$. Weiterhin bezeichnet ${𝔞}^{-1}$ das Inverse eines Ideals $𝔞$.

Definition

Die Differente eines Zahlkörpers $K$ ist definiert als ${𝔇}_K=({𝒪}^{\star }{)}^{-1}$, wobei $𝒪$ der Ganzheitsring (die Hauptordnung $𝔬$) des Zahlkörpers ist.

Erster Dedekindscher Hauptsatz

Die Absolutnorm der Differente eines algebraischen Zahlkörpers ist gleich dem Betrag der Diskriminante

$𝔑({𝔇}_K)=|d_K|$.

Beispiel

Für den Zahlkörper $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ ist der Ganzheitsring $𝒪$ die gaußischen Zahlen mit der $\mathbb{Z}$-Basis $(1,\sqrt{-1})$. Das dazu duale Gitter besitzt die $\mathbb{Z}$-Basis $(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{-1}}{2})$ dessen gebrochenes Ideal sich zu $\frac{1}{2}(1)$ bestimmen lässt. Trivialerweise ist das inverse Ideal dazu $(2)$ was ein Hauptideal ist, für das gilt $𝔑((2))=N_{K/\mathbb{Q}}(2)=4$ oder man kann die Restklassen zu $0,1,\sqrt{-1}$ und $1+\sqrt{-1}$ bestimmen. Dieses Ergebnis entspricht auch wie zu erwarten der Diskriminante des Zahlkörpers $|d_K|=4$.

Literatur

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58791-0.