Konzentration des Maßes

Unter der Konzentration des Maßes versteht man ein mathematisches Phänomen aus der Maßtheorie, welches an vielen Stellen in der Stochastik auftritt, aber auch in anderen Gebieten wie der Funktionalanalysis und der Kombinatorik.

Wesentliche Arbeit zur Konzentration des Maßes stammt aus den 1970ern von Vitali Milman aus dem Studium der asymptotischen Geometrie von Banachräumen, welcher die Vorarbeit von Paul Lévy weiterführte.

Anschaulich kann man die Konzentration des Maßes in der Stochastik als den Effekt interpretieren, dass Funktionen mit vielen kleinen lokalen Fluktuationen sich mit großer Wahrscheinlichkeit wie Konstanten verhalten.

Lévys isoperimetrische Ungleichung

Die isoperimetrische Ungleichung auf der Sphäre stammt von Lévy.

Wir betrachten den Raum $({ℝ}^n,\Vert \cdot \Vert ,\mu )$ wobei $\Vert \cdot \Vert$ die euklidische Norm und $\mu$ das sphärische Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${ℝ}^n$ bezeichnet. Dieses ist normiert und rotations-invariant auf ${𝕊}^{n-1}:=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x\Vert =1\}$, das bedeutet $\mu ({𝕊}^{n-1})=1$ und für ein $A\subseteq {𝕊}^{n-1}$ und eine Rotation $T$ gilt $\mu (TA)=\mu (A)$.

Sei nun $A\subset {𝕊}^{n-1}$, definiere die geodäsische Distanz $\mathrm{d}(x,A)=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{y\in A}\mathrm{d}(x,y)$ und mit $A_{\delta }$ bezeichnen wir das $\delta$-Verfetten der Menge $A$

$A_{\delta }:=\{x\in {ℝ}^n:\mathrm{d}(x,A)<\delta \}$.

Mit $B$ bezeichnen wir das Kugelsegment $B:=\{x\in {𝕊}^{n-1}|\mathrm{d}(x,x_0)\le p\}$ um einen Punkt $x_0$ für ein passendes $p$, so dass $\mu (A)=\mu (B)$. Dann gilt für $t>0$

$\mu (A_t)\ge \mu (B_t)$.

Nehme nun an, dass $\mu (A)=1/2$ dann gilt

$\mu (A_t)\ge \mu (B_t)=1-\underset{t}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cdots \mathrm{d}\theta \ge 1-\frac{1}{2}{e}^{-(n-1)\frac{t^2}{2}}=1-C{e}^{-c(n-1)t^2}$

und somit verkleinert sich das Maß der Komplementärmenge $A_t^c$ exponentiell bei Wachstum des $t$, sobald $\mu (A)=1/2$ erreicht hat

$\mu (A_t^c)\le C{e}^{-c(n-1)t^2}$.

Es kommt zur Konzentration des Maßes auf der Sphäre.

Vitali Milman nützte dieses Resultat in seinem Beweis des Satzes von Dvoretzky.

Konzentration des Maßes

Sei $(M_n,d_n,{\mu }_n)$ ein Familie metrischer Wahrscheinlichkeitsräume. Definiere die Konzentrationsraten

${\alpha }_n(t):=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{A\subset M_n:{\mu }_n(A)\ge 1/2}{\mu }_n(d_n(M_n,A)\ge t)=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{A\subset M_n:{\mu }_n(A)\ge 1/2}{\mu }_n(A_t^c)$

wobei $A_t$ das $t$-Verfetten bezeichnet.

Dann wird $(M_n,d_n,{\mu }_n)$ Lévy-Familie genannt, falls $\mathrm{\forall }t>0$

${\alpha }_n(t)\to 0\text{wenn }n\to \mathrm{\infty }$

und normale Lévy-Familie, falls $\mathrm{\forall }t>0$ und $n\ge 1$ (oder $n$ groß genug)

${\alpha }_n(t)\le C{e}^{-cn{t}^2}$

für zwei Konstanten $c,C>0$.