Von-Neumann-Dimension

Die Von-Neumann-Dimension ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L²-Betti-Zahlen Verwendung findet.

Definition

Sei $\mathrm{\Gamma }$ eine abzählbare Gruppe und $V$ ein Hilbert-$\mathrm{\Gamma }$-Modul. Dann gibt es eine isometrische $\mathrm{\Gamma }$-äquivariante Einbettung $i:V\to (l^2\mathrm{\Gamma }{)}^n$ und eine $\mathrm{\Gamma }$-äquivariante orthogonale Projektion $p:(l^2\mathrm{\Gamma }{)}^n\to (l^2\mathrm{\Gamma }{)}^n$ mit Bild $i(V)$. Die Von-Neumann-Dimension von $V$ ist definiert als

${\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}V:=t{r}_{\mathrm{\Gamma }}(p)$,

wobei $t{r}_{\mathrm{\Gamma }}$ die Von-Neumann-Spur bezeichnet. Diese Definition hängt nicht von der gewählten Einbettung $i$ ab.

Eigenschaften

• ${\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}(l^2\mathrm{\Gamma }{)}^n=n$.
• ${\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}V=0⟺V=0$.
• Wenn $f:V\to W$ ein injektiver $\mathrm{\Gamma }$-äquivarianter Homomorphismus mit dichtem Bild ist, dann ist ${\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}V={\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}W$.
• Für eine schwach exakte Sequenz $0\to U\to V\to W\to 0$ von Hilbert-$\mathrm{\Gamma }$-Moduln ist ${\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}V={\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}U+{\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}W$.
• Die Von-Neumann-Dimension des vervollständigten Tensorprodukts zweier Hilbert-Moduln ist das Produkt der Von-Neumann-Dimensionen.
• Wenn $\mathrm{\Lambda }\subset \mathrm{\Gamma }$ eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann ist ${\dim }_{N\mathrm{\Lambda }}Re{s}_{\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{\Gamma }}V=[\mathrm{\Gamma }:\mathrm{\Lambda }]{\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}V$.

Beispiele

• Für eine endliche Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ und einen Hilbert-$\mathrm{\Gamma }$-Modul ist ${\dim }_{N\mathrm{\Gamma }}V=\frac{1}{|\mathrm{\Gamma }|}{\dim }_{ℂ}V$.
• Für $\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}$ und eine messbare Menge $A\subset [-\pi ,\pi ]$ ist $V=\{f\cdot {\chi }_A:f\in L^2([-\pi ,\pi ],ℂ)\}$ ein Hilbert-$\mathbb{Z}$-Modul und ${\dim }_{N\mathbb{Z}}V=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\chi }_{A}d\mu$.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).