Leray-Spektralsequenz

In der Mathematik ist die Leray-Spektralsequenz ein Hilfsmittel zur Berechnung der Garbenkohomologie.

Definition

Sei $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Betrachte den Funktor $f_{*}$, der jeder Garbe $ℱ$ über $X$ ihr direktes Bild $f_{*}ℱ$ über $Y$ zuordnet. Seien $R^i{f}_{*}$ seine abgeleiteten Funktoren. Dann gibt es eine Spektralsequenz mit

$E_2^{p,q}=H^p(Y,R^q{f}_{*}(ℱ))$,

die gegen

$E_{\mathrm{\infty }}^{p,q}=H^{p+q}(X,ℱ)$

konvergiert.

Zugang über Doppelkomplexe für Garben von Differentialformen

Sei $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Für eine Überdeckung $𝒰$ von $Y$ definiere einen Doppelkomplex als Čech-Komplex $C^p(f^{-1}𝒰,{\mathrm{\Omega }}^q)$ für die Garbe der Differentialformen ${\mathrm{\Omega }}^{*}$.

Falls $𝒰$ eine gute Überdeckung ist, dann ist die Kohomologie dieses Doppelkomplexes die De-Rham-Kohomologie $H_{dR}^{*}(X)$. Zu dem Doppelkomplex hat man eine Spektralsequenz mit $E_2^{p,q}=H^p(f^{-1}𝒰,{\mathscr{H}}_{dR}^q)$.

Anwendung auf Faserbündel

Für ein Faserbündel $f:E\to B$ mit Faser $F$ erhält man eine gegen $E_{\mathrm{\infty }}^{p,q}=H^{p+q}(E)$ konvergierende Spektralsequenz mit $E_2^{p,q}=H^p(B,{\mathscr{H}}^q(F))$.

Für Sphärenbündel kann man daraus die Gysin-Sequenz herleiten.

Die Verallgemeinerung der Leray-Spektralsequenz auf Serre-Faserungen wird als Leray-Serre-Spektralsequenz bezeichnet.

Weblinks

• Leray spectral sequence (Encyclopedia of Mathematics)
• Leray spectral sequence (nLab)