Bellard-Formel

Die Bellard-Formel ist eine Reihe, die verwendet werden kann, um die ersten $p$ Ziffern der Kreiszahl $\pi$ im Hexadezimalsystem zu berechnen.

Fabrice Bellard veröffentlichte 1997 als Erster einen Artikel über die Formel. Sie ist circa 1,43 mal so schnell wie die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel.

Eine wichtige Anwendung der Formel ist die Verifizierung der Berechnungen aller ersten Stellen von $\pi$ mittels anderer Methoden. Somit müssen nicht alle Stellen von zwei verschiedenen Algorithmen berechnet werden, da es reicht, die letzten Stellen einer "vollständigen" Berechnung durch die Bellard-Formel zu überprüfen.

Die Formel

Die Formel lautet:

$\begin{array}{cc}\pi =\frac{1}{2^6}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2^{10n}}(-\frac{2^5}{4n+1}& -\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}).\end{array}$

Um die ersten $p$ Hexadezimalstellen von $\pi$ zu berechnen, genügt es, eine Partialsumme auszurechnen, die von der Reihe um höchstens $16^{-p}$ abweicht.

Weblinks

• Fabrice Bellard's PI page
• PiHex web site
• David Bailey, Peter Borwein, and Simon Plouffe's BBP formula (On the rapid computation of various polylogarithmic constants) (PDF)