Spin-Gruppe

Die Spin-Gruppe ist ein Objekt aus der Mathematik und Physik, insbesondere aus den Bereichen der Spektralgeometrie und Quantenmechanik. Eine zentrale Eigenschaft der Spin-Gruppe $\mathrm{Spin}(n)$ ist, dass sie eine 2-fache Überlagerung der Drehgruppe $\mathrm{SO}(n)$ ist.

Definition

Zu einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ und einer quadratischen Form $Q:V\to K$ auf $V$ definiert man die Clifford-Algebra $Cl(V,Q)$ als die Algebra über $K$, die von $V$ und dem Einselement $1_{Cl}$ erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation

$v\cdot v=-Q(v)1_{Cl}$

erfüllt. Durch diese Beziehung ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Spin-Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren

$\mathrm{Spin}(V,Q):=\{v_1\dots v_{2k}\in Cl(V,Q):k\in \mathbb{N},v_1,\dots ,v_{2k}\in V,Q(v_1)=\dots =Q(v_{2k})=1\}\subset Cl(V,Q)$.

Die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

$Q=x_1^2+\cdots +x_n^2$

auf dem $ℝ$-Vektorraum $V={ℝ}^n$ wird kurz als $\mathrm{Spin}(n)$ bezeichnet.

Für $p+q=n$ bezeichnet man mit $\mathrm{Spin}(p,q)$ die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

$Q=x_1^2+\cdots +x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots -x_n^2$

auf dem $ℝ$-Vektorraum $V={ℝ}^n$.

Beispiele

Für $n\le 6$ hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie-Gruppen:

• $\mathrm{Spin}(2)\cong S^1$
• $\mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{SU}(2)$
• $\mathrm{Spin}(4)\cong \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$
• $\mathrm{Spin}(5)\cong \mathrm{Sp}(2)$
• $\mathrm{Spin}(6)\cong \mathrm{SU}(4)$

Spin(n) als 2-fache Überlagerung der SO(n)

Satz: $\mathrm{Spin}(n)$ ist eine zweifache Überlagerung der $\mathrm{SO}(n)$.

Beweisskizze: In der Clifford-Algebra $Cl(n)$ gilt $v^{-1}=-v$ für alle $v\in {ℝ}^n$ mit $q(v,v)=1$. Die Abbildung

$x\mapsto -vx{v}^{-1}=vxv=x-2q(x,v)v$

ist eine Spiegelung des ${ℝ}^n$ und sie ist kompatibel mit Produkten, definiert also eine Darstellung

$\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$.

Weil jedes Element aus $\mathrm{SO}(n)$ Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist, erhält man eine surjektive Abbildung, von der man zeigen kann, dass sie eine Überlagerung ist. Der Kern besteht nur aus $\pm 1_{Cl}$, denn Elemente im Kern müssen mit allen $x\in {ℝ}^n$ kommutieren, also zum Zentrum der Clifford-Algebra gehören, welches aber nur aus skalaren Vielfachen von $1_{Cl}$ besteht. $\pm 1_{Cl}$ sind die einzigen zu $\mathrm{Spin}(n)$ gehörenden skalaren Vielfachen von $1_{Cl}$, wie man mittels der in $\mathrm{Spin}(n)$ gültigen Formel $(v_1\dots v_{2k}{)}^{-1}=v_{2k}\dots v_1$ sieht, aus der für Vielfache von $1_{Cl}$ folgt, dass ihr Quadrat $1$ ist.

Für $n\ge 3$ ist $\mathrm{Spin}(n)$ einfach zusammenhängend und die universelle Überlagerung von $\mathrm{SO}(n)$.

Analog ist $\mathrm{Spin}(p,q)$ eine zweifache Überlagerung von ${\mathrm{SO}}_0(p,q)$, der Zusammenhangskomponente der Eins von $\mathrm{SO}(p,q)$. Für $p+q\ge 3$ ist $\mathrm{Spin}(p,q)$ zusammenhängend, dagegen hat $\mathrm{Spin}(1,1)$ zwei Zusammenhangskomponenten.

Lie-Algebra von Spin(n)

Die Lie-Algebra $𝔰𝔭𝔦𝔫(n)$ von $\mathrm{Spin}(n)$ ist der von den Produkten $e_i{e}_j$ mit $i=j$ aufgespannte Unterraum von $Cl(n)$.

Die Überlagerung $\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$ induziert einen Isomorphismus zur Lie-Algebra $𝔰𝔬(n)$ der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur $0$. Dabei entspricht $\frac{1}{4}\sum _{i,j}{a}_{ij}{e}_i{e}_j$ der schiefsymmetrischen Matrix mit Einträgen $a_{ij}$.

Darstellungen von Spin(n)

Durch den Homomorphismus $\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$ werden alle Darstellungen von $\mathrm{SO}(n)$ auch zu Darstellungen von $\mathrm{Spin}(n)$. Das sind zunächst die Standard-Darstellung von $\mathrm{SO}(n)$ auf $V={ℝ}^n$ und weiter die induzierten Darstellungen auf den äußeren Algebren ${\mathrm{\Lambda }}^{k}V$ für $k=2,3,\dots$

Darüber hinaus gibt es noch für ungerade $n$ die Spinor-Darstellung und gerade $n$ die beiden Halbspinor-Darstellungen von $\mathrm{Spin}(n)$, welche sich nicht als Darstellungen von $\mathrm{SO}(n)$ faktorisieren lassen. Zusammen mit den zuvorgenannten erhält man so alle Fundamentaldarstellungen von $\mathrm{Spin}(n)$.

Literatur

• Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5.
• John Roe: Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods. Second Edition. Chapman & Hall, CRC Research Notes in Mathematics Series, ISBN 978-0-582-32502-9.
• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.