Hilbert-Funktion

In der algebraischen Geometrie gibt die Hilbert-Funktion Informationen über die Anzahl der Hyperflächen zu einem gegebenen Grad. Für hinreichend große Argumente stimmt sie mit einem als Hilbert-Polynom bezeichneten Polynom überein.

Hilbert-Funktion

Sei $X \subset P^{n}$ eine projektive Varietät mit Verschwindungsideal

I (X) \subset K [Z_{0}, \dots, Z_{n}]

.

Für $d \geq 1$ sei

I (X)_{d} = I (X) \cap K {[Z_{0}, \dots, Z_{n}]}_{d}

der homogene Anteil vom Grad $d$ . Der Koordinatenring $S (X)$ ist dann ein graduierter Ring

S (X) = ⨁_{d \geq 0} S (X)_{d}

mit $S (X)_{d} = K {[Z_{0}, \dots, Z_{n}]}_{d} / I (X)_{d}$ .

Die Dimension von $I (X)_{d}$ gibt die Anzahl der unabhängigen, $X$ enthaltenden Hyperflächen vom Grad $d$ . Die Hilbert-Funktion $h_{X}$ ist definiert durch

h_{X} (d) = \dim S (X)_{d}

,

sie gibt also die Kodimension von $I (X)_{d}$ .

Beispiele

Sei $X = {[1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [0 : 0 : 1]} \subset P^{2}$ . Dann ist $h_{X} (d) = 3$ für alle $d \geq 1$ .
Sei $X = {[1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [1 : 1 : 0]} \subset P^{2}$ . Dann ist $h_{X} (1) = 2$ und $h_{X} (d) = 3$ für alle $d \geq 2$ .
Sei $X \subset P^{n}$ eine aus $m$ Punkten bestehende Menge. Dann ist $h_{X} (d) = m$ für $d \geq m - 1$ .
Sei $X \subset P^{2}$ eine durch ein homogenes Polynom vom Grad $k$ gegebene Kurve. Dann ist $h_{X} (d) = d \cdot k - \frac{1}{2} k (k - 3)$ für $d \geq k$ .

Hilbert-Polynom

Satz: Zu jeder projektiven Varietät $X \subset P^{n}$ gibt es ein Polynom $H_{X} \in ℚ [d]$ vom Grad $\dim (X)$ , so dass

H_{X} (d) = h_{X} (d)

für alle hinreichend großen $d \in ℤ$ gilt.

Das Polynom $H_{X}$ heißt das Hilbert-Polynom der Varietät $X$ .

Siehe auch

Hilbert-Schema

Literatur

D. Eisenbud: Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag New York, ISBN 0-387-94268-8

Weblinks

D. Plaumann: Hilbert polynomials

Hilbert-Funktion

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