Kodimension

Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im $n$-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich $n.$ Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Gerade (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Definition

Ist $V$ ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist $U$ ein Untervektorraum von $V$, dann wird die Kodimension von $U$ in $V$ durch

$\mathrm{codim}(U,V)=\dim (V/U),$

also als die Dimension des Faktorraums $V/U$, definiert.

Eigenschaften

• Es gilt stets

$\dim U+\mathrm{codim}(U,V)=\dim V.$

Ist $V$ endlichdimensional, so ist also

$\mathrm{codim}(U,V)=\dim V-\dim U.$

• Ist $W$ ein Komplementärraum von $U$ in $V$, d. h. $U\oplus W=V$, so ist

$\mathrm{codim}(U,V)=\dim W.$

• Sind $U_1,U_2\subseteq V$ zwei Unterräume, so gilt stets

$\mathrm{codim}(U_1\cap U_2,V)\le \mathrm{codim}(U_1,V)+\mathrm{codim}(U_2,V).$

• Sind $U,W\subseteq V$ Unterräume, so gilt

$\mathrm{codim}(U\cap W,W)=\mathrm{codim}(U,U+W)\le \mathrm{codim}(U,V).$

Beispiele

Eine Ebene hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer Geraden die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine Hyperebene hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.

Literatur

• Vorlage:EoM