Kynea-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Kynea-Zahl eine ganze Zahl der Form $(2^n+1{)}^2-2$, oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form $2^{2n}+2^{n+1}-1$ mit $n\ge 1$. Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.

Beispiele

• Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:

7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … (Vorlage:OEIS)

• Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden

(die $2$ ist in der Liste wegen $n\ge 1$ nicht enthalten, hätte aber ebenfalls die Form $(2^n+1{)}^2-2=(2^0+1{)}^2-2=4-2=2$):

7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … (Vorlage:OEIS)

Man nennt sie Kynea-Primzahlen.

• Die größte bekannte Kynea-Primzahl ist $(2^{661478}+1{)}^2-2$ und hat $398250$ Stellen. Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.

Eigenschaften

• Jede Kynea-Zahl der Form $(2^n+1{)}^2-2$ hat eine binäre Darstellung, welche $2n+1$ Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach $n-1$ Nullen in der Mitte hat und mit weiteren $n+1$ Einsern endet. Mit anderen Worten:

$(2^n+1{)}^2-2=4^n+\sum _{i=0}^n{2}^i$

Beispiel:

$287=(2^4+1{)}^2-2=\underset{\_}{1}\cdot 2^8+\underset{\_}{0}\cdot 2^7+\underset{\_}{0}\cdot 2^6+\underset{\_}{0}\cdot 2^5+\underset{\_}{1}\cdot 2^4+\underset{\_}{1}\cdot 2^3+\underset{\_}{1}\cdot 2^2+\underset{\_}{1}\cdot 2^1+\underset{\_}{1}\cdot 2^0=100011111_2$

• Die Differenz zwischen der $n$-ten Kynea-Zahl und der $n$-ten Carol-Zahl $(2^n-1{)}^2-2$ beträgt $2^{n+2}$.
• Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von $7$.

Beispiel:

$16639=(2^7+1{)}^2-2$ ist die sechste Carol-Zahl nach $7$ und tatsächlich ist $16639=2377\cdot 7$ ein Vielfaches von $7$.

• Eine Kynea-Zahl $(2^n+1{)}^2-2$ mit $n=3k+1$ für $k>0$ kann keine Primzahl sein.

(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

• Eine Kynea-Zahl $(2^n+1{)}^2-2$ ist die Summe einer $n$-ten Potenz von 4 und der $(n+1)$-ten Mersenne-Zahl.

Verallgemeinerungen

Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form $(b^n+1{)}^2-2$ mit $n\ge 1$ und einer Basis $b\ge 2$.

Eigenschaften

• Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b$ kann nur dann eine Primzahl sein, wenn $b$ eine gerade Zahl ist.

(Wenn $b$ eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz $b^n$ ungerade. Addiert man $1$ dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man $2$ ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)

• Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis $b$ ist immer eine gerade Zahl.
• Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b^n$ ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b$.
• Die kleinsten $n\ge 1$, sodass $((2k{)}^n+1{)}^2-2$ prim ist (Basis $b=2k$), sind die folgenden (für $k=1,2,3,4,\dots ,100$):

1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …

Beispiel:

Für $k=11$ kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl $n=3$ entnehmen.

Tatsächlich ist $((2\cdot 11{)}^3+1{)}^2-2=113401199\in \mathbb{P}$ eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis $b$ entnehmen kann:

$b$	Form	Potenzen $n\ge 1$, sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis $b$, also der Form $(b^n+1{)}^2-2$ prim sind	OEIS-Folge
$2$	$(2^n-1{)}^2-2$	1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, 852770, …	(Vorlage:OEIS)
$4$	$(4^n-1{)}^2-2$	1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, 426385, …
$6$	$(6^n-1{)}^2-2$	1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, …	(Vorlage:OEIS)
$8$	$(8^n-1{)}^2-2$	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, …
$10$	$(10^n-1{)}^2-2$	22, 351, 1061, …	(Vorlage:OEIS)
$12$	$(12^n-1{)}^2-2$	1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, …
$14$	$(14^n-1{)}^2-2$	1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, …	(Vorlage:OEIS)
$16$	$(16^n-1{)}^2-2$	2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, …
$18$	$(18^n-1{)}^2-2$	1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, 82516, …
$20$	$(20^n-1{)}^2-2$	1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, 92990, …
$22$	$(22^n-1{)}^2-2$	3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, 42356, 52147, 82020, …	(Vorlage:OEIS)
$24$	$(24^n-1{)}^2-2$	24, 321, 971, 984, …
$26$	$(26^n-1{)}^2-2$	1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, …
$28$	$(28^n-1{)}^2-2$	1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, 80543, …
$30$	$(30^n-1{)}^2-2$	2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, …
$32$	$(32^n-1{)}^2-2$	1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, 170554, …
$34$	$(34^n-1{)}^2-2$	1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, …
$36$	$(36^n-1{)}^2-2$	1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, …
$38$	$(38^n-1{)}^2-2$	6, 279, 3490, …
$40$	$(40^n-1{)}^2-2$	2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, …
$42$	$(42^n-1{)}^2-2$	1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, …
$44$	$(44^n-1{)}^2-2$	3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, …
$46$	$(46^n-1{)}^2-2$	1, 54, 2040, 3063, …
$48$	$(48^n-1{)}^2-2$	1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, …
$50$	$(50^n-1{)}^2-2$	4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist $(30^{157950}+1{)}^2-2$ und hat $466623$ Stellen. Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.

Weitere Verallgemeinerungen

Eine positive ganze Zahl der Form $(2^n+1{)}^3-2$ nennt man Big-Ears-Zahl (Big-Ears number).

Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte Big-Ears-Primzahlen, sind die folgenden:

3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … (Vorlage:OEIS)

Siehe auch

• Carol-Zahl

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search.
• Carol- und Kynea-Primzahlen