51-Eck

Regelmäßiges 51-Eck

Das 51-Eck oder Pentakontahenagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch einundfünfzig Punkte und deren einundfünfzig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Das – im Folgenden ausschließlich beschriebene – regelmäßige 51-Eck ist ein nicht überschlagenes Polygon mit 51 gleich langen Seiten auf einem gemeinsamen Umkreis. Es ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ($51=2^0\cdot 3\cdot 17$) darstellbar ist.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige 51-Eck.

Größen

Größen eines regelmäßigen 51-Ecks
Innenwinkel	$\begin{array}{cc}\alpha & =\frac{n-2}{n}\cdot 180^{\circ }=\frac{49}{51}\cdot 180^{\circ }\\ \alpha & \approx 172,941176^{\circ }\end{array}$
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)	$\begin{array}{cc}\mu & =\frac{360^{\circ }}{51}\\ \mu & \approx 7,058823^{\circ }\end{array}$
Seitenlänge	$\begin{array}{cc}a& =R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\\ a& \approx 0,1231218\cdot R\end{array}$
Umkreisradius	$\begin{array}{cc}R& =\frac{a}{2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)}\\ R& \approx \frac{a}{0,123121}\end{array}$
Inkreisradius	$\begin{array}{cc}r& =R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\\ r& \approx 0,998103\cdot R\end{array}$
Höhe	$\begin{array}{cc}h& =R+r=R\cdot (1+\cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right))\\ h& \approx 1,998103\cdot R\end{array}$
Flächeninhalt	$\begin{array}{cc}A& =51\cdot R^2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\\ A& \approx 3,133651\cdot R^2\end{array}$

Innenwinkel

Der Innenwinkel $\alpha$ wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable $n$ für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl $51$ einzusetzen.

$\alpha =\frac{n-2}{n}\cdot 180^{\circ }=\frac{51-2}{51}\cdot 180^{\circ }=\frac{49}{51}\cdot 180^{\circ }\approx 172,941176^{\circ }$

Zentriwinkel

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel $\mu$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien $R$ eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable $n$ die Zahl $51$ einzusetzen.

$\mu =\frac{360^{\circ }}{n}=\frac{360^{\circ }}{51}\approx 7,058823^{\circ }$

Seitenlänge und Umkreisradius

Das 51-Eck ist in einundfünfzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) $\frac{a}{2}$, der Hypotenuse (Umkreisradius) $R$ und dem halben Zentriwinkel $\frac{\mu }{2}$ erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge $a$ wie folgt

$\begin{array}{cc}a& =R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{\mu }{2}\right)\\ & =R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\\ a& \approx 0,1231218\cdot R,\end{array}$

durch Umformen erhält man den Umkreisradius $R$

$\begin{array}{cc}R& =\frac{a}{2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)}\\ R& \approx \frac{a}{0,1231218}\end{array}$

Inkreisradius

Der Inkreisradius $r$ ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge $a$ des 51-Ecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius $r$

$\begin{array}{cc}r& =R\cdot \cos \left(\frac{\mu }{2}\right)=R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\\ r& \approx 0,998103\cdot R\end{array}$

Höhe

Die Höhe $h$ eines regelmäßigen 51-Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius $r$ und Umkreisradius $R$.

$h=R+r=R+R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)=R\cdot (1+\cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right))$

$h\approx 1,998103\cdot R$

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}a\cdot h_a$. Für die Berechnung des 51-Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge $a$ und des Inkreisradius $r$ herangezogen, worin $r$ für die Höhe $h_a$ eingesetzt wird.

$a=R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)$

$h_a=r=R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)$ daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

$\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{\Delta }}& =\frac{1}{2}\cdot R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\cdot R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\end{array}$ zusammengefasst ergibt sich

$A_{\mathrm{\Delta }}=R^2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)$

$A_{\mathrm{\Delta }}\approx 0,0614441\cdot R^2$

und für die Fläche des gesamten 51-Ecks

$A=51\cdot A_{\mathrm{\Delta }}=51\cdot R^2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{51}\right)$

$A\approx 3,133651\cdot R^2$

Konstruktion

Wie oben in Regelmäßiges 51-Eck beschrieben, ist das 51-Eck als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Da sich die Anzahl seiner Ecken aus der Multiplikation der beiden Fermatschen Primzahlen $3$ und $17$ ergibt, kann das regelmäßige 51-Eck durch eine Erweiterung einer bereits bekannten Konstruktion des Siebzehnecks gefunden werden. Die zwei Polygone Dreieck und Siebzehneck (deren Anzahl der Seiten entspricht den Fermatschen Primzahlen $3$ bzw. $17$) werden im gemeinsamen Umkreis mit einem gemeinsamen Eckpunkt übereinander gelegt, so wie dies z. B. Johannes Kepler in seinem Werk WELT-HARMONIK in der Konstruktion des Fünfzehnecks aufzeigt.

Als Basis für die Konstruktion kann prinzipiell eine der drei in Siebzehneck beschriebenen Methoden ausgewählt werden. Aus Gründen des sehr geringen erforderlichen Aufwands wird die Methode von Duane W. DeTemple, aus dem Jahr 1991, verwendet.

Vorüberlegungen

Bild 1: Siebzehneck nach DeTemple, Vorüberlegungen (gepunktete Linien)

In der Zeichnung des Siebzehnecks nach Duane W. DeTemple (Bild 1) ist gut erkennbar, die Mittelsenkrechte ab $Q^{\prime }$ schneidet nicht nur den Kreisbogen $c_2,$ sondern auch den Umkreis. Wird dieser Schnittpunkt als $P_{34}$ markiert, liegt er direkt neben dem Eckpunkt $P_{11}.$ Damit ergibt sich der Zentriwinkel $P_{34}O{P}_0$ mit der Winkelweite $120^{\circ }$ eines gleichseitigen Dreiecks, der quasi zum Zentriwinkel des Siebzehnecks $P_{0}O{P}_1$ geometrisch im Uhrzeigersinn addiert ist.

Folglich gilt für

Zentriwinkel ${\theta }_1$ des Kreissektors $O{P}_{11}{P}_0$

${\theta }_1=\frac{6}{17}\cdot 360^{\circ }=127,0588235294117647{\dots }^{\circ },$

Zentriwinkel ${\theta }_2$ des Kreissektors $O{P}_{11}{P}_{34}$

${\theta }_2=\frac{6}{17}\cdot 360^{\circ }-120^{\circ }=7,0588235294117647{\dots }^{\circ },$ wegen

Zentriwinkel $\mu$ des 51-Ecks

$\mu =\frac{360^{\circ }}{51}=7,0588235294117647{\dots }^{\circ }$ gilt auch

${\theta }_2=\mu .$

Somit ist die Strecke $\overline{P_{11}{P}_{34}}$ eine Seitenlänge $a$ und $P_{34}$ ein Eckpunkt des gesuchten 51-Ecks.

Die Position des Eckpunktes $P_{34}$ des 51-Ecks ergibt sich auch aus der Anzahl der Seitenlängen $a_A$ die im Zentriwinkel $120^{\circ }$ enthalten sind

$a_A=\frac{120^{\circ }}{7,0588235294117647}=17,$ daraus folgt

ausgehend von dem nicht mitgezählten Eckpunkt $P_0,$ entspricht der im Uhrzeigersinn 17. Eckpunkt dem Eckpunkt $P_{34}$ der gegen den Uhrzeigersinn abgezählt ist.

Der 17. Eckpunkt des 51-Ecks liegt demnach, bezogen auf die Mittelachse $\overline{Q{P}_0}$, genau gegenüber dem 34. Eckpunkt.

Konstruktionsbeschreibung

Die, im Vergleich zum Original, geänderten Bezeichner im Bild 2 entsprechen denen der heute üblichen.

Bild 2: Erweiterung der Konstruktion des 17-Ecks nach Duane W. DeTemple zur Konstruktion des 51-Ecks durch Ergänzung der Ecken des gleichseitigen Dreiecks ($P_0$ - $P_{17}$ - $P_{34}$) und Abtragen der dann noch fehlenden Punkte

• Zeichnen einer Geraden $x$ (analytisch eine X-Achse) und bestimmen eines Punktes $M_1$ darauf, den späteren Mittelpunkt des Polygons (analytisch ein Koordinatenursprung).
• Zeichnen eines Kreises als Umkreis (analytisch ein Einheitskreis) $C_1$ um $M_1$. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, den Eckpunkt $P_0$ des Polygons und der Gegenpunkt $B$.
• Errichten der Senkrechten $y$ (analytisch eine Y-Achse) auf der Gerade $x$ in $M_1$. Es ergibt sich der Schnittpunkt $Y_0$.
• Halbierung der Strecke $\overline{B{M}_1}$ in $M_2$.
• Errichten der Senkrechte auf der Geraden in $M_2$. Die beiden Schnittpunkte mit $C_1$ sind die Eckpunkte $P_{17}$ und $P_{34}$ des 51-Ecks.
• Zeichnen des Kreisbogens $C_2$ um $M_2$ mit dem Radius $\overline{M_2{P}_0}$. Der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist $M_{Cc1}$.
• Nun wird um $M_{Cc1}$ der erste Carlyle-Kreis $C_{C1}$ durch den Punkt $Y_0$ gezogen; die Schnittpunkte sind $X_{Cc1,1}$ und $X_{Cc1,2}$.
• Die Strecke $\overline{M_1{X}_{Cc1,1}}$ wird halbiert. Man erhält $M_{Cc2}$.
• Zeichnen eines zweiten Carlyle-Kreises $C_{C2}$ um $M_{Cc2}$ durch $Y_0$. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte $X_{Cc2,1}$ und $X_{Cc2,2}$ (letzterer nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Die Strecke $\overline{M_1{X}_{Cc1,2}}$ wird halbiert. Man erhält $M_{Cc3}$.
• Zeichnen eines dritten Carlyle-Kreises $C_{C3}$ um $M_{Cc3}$ durch $Y_0$. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte $X_{Cc3,1}$ und $X_{Cc3,2}$ (letzterer ebenfalls nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Abtragen der Strecke $\overline{M_1{X}_{Cc2,1}}$ auf $y$ von $Y_0$ aus ab. Man erhält Punkt $Y_1$
• Verbinden der Punkte $Y_1$ und $X_{Cc3,1}$ mit einer Strecke.
• Halbieren der Strecke $\overline{Y_1{X}_{Cc3,1}}$. Man erhält Punkt $M_{Cc4}$.
• Zeichnen eines vierten Carlyle-Kreises $C_{C4}$ um $M_{Cc4}$ durch $Y_0$. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte $X_{Cc4,1}$ und $X_{Cc4,2}$ (letzterer nicht beschriftet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Zeichnen eines Kreisbogens um $X_{Cc4,1}$ mit dem Umkreisradius $\overline{M_{1}B}$. Die Schnittpunkte mit dem Umkreis $C_1$ sind die zwei zu $P_0$ benachbarten Punkte des 17-Ecks und damit die Punkte $P_3$ und $P_{48}$ des 51-Ecks.
• Durch wiederholtes Abtragen der Strecke $\overline{P_0{P}_3}$ auf dem Umkreis $C_1$, beginnend mit $P_0$, erhält man die fehlenden Punkte eines regelmäßigen 17-Ecks. Bis hierhin entspricht die Konstruktion der des 17-Ecks.
• Durch wiederholtes Abtragen der Strecke $\overline{P_0{P}_3}$ auf dem Umkreis $C_1$, ausgehend von den Punkten $P_{17}$ (blau) und $P_{34}$ (rot), erhält man alle noch fehlenden Eckpunkte des 51-Ecks, welche miteinander zum 51-Eck verbunden werden können.

Vorkommen

Architektur

RWE-Turm in Essen

Der Querschnitt des RWE-Turms in Essen ist ein regelmäßiges 51-Eck.

Literatur

• H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365., in Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.