Approximative Pivotstatistik

Eine approximative Pivotstatistik ist eine Folge von Funktionen in der mathematischen Statistik, die zur Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen verwendet wird. Sie bildet somit das asymptotische Pendant zur Pivotstatistik, welche zur Konstruktion von (nichtapproximativen) Konfidenzbereichen verwendet wird.

Definition

Rahmenbedingungen

Für $n\in \mathbb{N}$ seien $(X_n,{𝒜}_n)$ Messräume und $(P_{\vartheta ,n}{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }}$ Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $(X_n,{𝒜}_n)$. Sei $(\mathrm{\Gamma },{𝒜}_{\mathrm{\Gamma }})$ ein weiterer Messraum sowie

$g:\mathrm{\Theta }\to \mathrm{\Gamma }$

die zu schätzende Funktion.

In den meisten Fällen handelt es sich bei den Messräumen und den Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen um $n$-fache Produktmodelle. Typisches Beispiel hierfür wäre $X_n={ℝ}^n$ und als Wahrscheinlichkeitsmaß ein entsprechendes Produktmaß $P_{\vartheta }^n$ eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $P_{\vartheta }$ auf $ℝ$.

Formalisierung

Eine Folge von Statistiken $(T_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit

$T_n:X_n\times \mathrm{\Gamma }\to \mathrm{\Gamma }$

heißt eine approximative Pivotstatistik für $g$, wenn gilt:

• Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $Q$ auf $(\mathrm{\Gamma },{𝒜}_{\mathrm{\Gamma }})$, so dass die Verteilung von $T_n(\cdot ,g(\vartheta ))$ für alle $\vartheta \in \mathrm{\Theta }$ gegen $Q$ konvergiert. Es ist also

$P_{\vartheta }\circ T_n(\cdot ,g(\vartheta ){)}^{-1}\stackrel{𝒟}{\to }Q$ für $n\to \mathrm{\infty }$ und für alle $\vartheta \in \mathrm{\Theta }$.

• Für alle Mengen $B\in A_{\mathrm{\Gamma }}$ ist $\{x\in X_n\mid T_n(x,g(\vartheta ))\in B\}$ in ${𝒜}^n$ enthalten.

Die zweite Bedingung garantiert, dass allen Mengen in ${𝒜}_{\mathrm{\Gamma }}$ sinnvoll Wahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeitsmaße $P_{\vartheta }$ zugeordnet werden können, das heißt die Verteilung von $T_n(\cdot ,g(\vartheta ))$ für alle $\vartheta$ wohldefiniert ist.

Beispiel

Betrachte ein Bernoulli-Produktmodell, also

$X=\{0,1\}\text{ und }𝒜=𝒫\{0,1\}$

versehen mit der Bernoulli-Verteilung zum Parameter $\vartheta \in (0,1)$.

Das $n$-fache Produktmodell ist dann $(X^n,{𝒜}^n,({\mathrm{Ber}}_{\vartheta }^n{)}_{\vartheta \in (0,1)})$. Geschätzt werden soll der Parameter der Bernoulli-Verteilung, also ist die zu schätzende Funktion

$g(\vartheta )=\vartheta$.

Sei $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ die Stichprobenvariable. Die $X_i$ sind unabhängig identisch verteilt und es ist

$T_n(X,\vartheta )=\sqrt{n}\left(\frac{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)-\vartheta }{\sqrt{\vartheta (1-\vartheta )}}\right)$

eine approximative Pivotstatistik, da sie nach dem Satz von Moivre-Laplace gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Es ist also $Q=𝒩(0,1)$.

Quellen

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur