Satz von Moivre-Laplace

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der stetigen Normalverteilung an.

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt, ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für $n\to \mathrm{\infty }$ und Wahrscheinlichkeiten $0<p<1$ gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für $p=\frac{1}{2}$ kann diese Approximation durch ein Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Beim Satz von de Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für $p=\frac{1}{2}$ und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.

Aussage

Sei $X_1,X_2,X_3,\cdots$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit dem Parameter $p\in (0,1)$. Dann ist die Summe $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$ binomialverteilt mit den Parametern $n\in \mathbb{N}$ und $p$. Die Zufallsvariable $S_n$ hat den Erwartungswert ${\mu }_n:=\mathrm{E}[S_n]=np$ und die positive Standardabweichung ${\sigma }_n:=\sqrt{\mathrm{Var}[S_n]}=\sqrt{np(1-p)}$. $\mathrm{\Phi }$ bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und ${\phi }_{\mu ,{\sigma }^2}$ bezeichne die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz ${\sigma }^2$.

Dann gelten der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{P}(S_n=k)}{{\phi }_{{\mu }_n,{\sigma }_n^2}(k)}=1,k=0,1,\dots ,n$

und der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}(\frac{S_n-{\mu }_n}{{\sigma }_n}\le t)=\mathrm{\Phi }(t)\text{für alle }t\in ℝ.$

Interpretation und Anwendung

Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsvariablen für $n\to \mathrm{\infty }$ gegen die Werte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz konvergieren. Er dient zur Rechtfertigung der Approximation

$\mathrm{P}(S_n=k)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_n}\exp (-\frac{1}{2}{\left(\frac{k-{\mu }_n}{{\sigma }_n}\right)}^2)={\phi }_{{\mu }_n,{\sigma }_n^2}(k),k=0,1,\dots ,n,$

wobei auf der rechten Seite des Approximationszeichens die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung $𝒩({\mu }_n,{\sigma }_n^2)$ an der Stelle $k$ steht.

Der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace ist ein spezieller zentraler Grenzwertsatz, der besagt, dass die standardisierten Zufallsvariablen $\frac{S_n-{\mu }_n}{{\sigma }_n}$ für $n\to \mathrm{\infty }$ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Er wird auch in der Form

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\mathrm{P}(S_n\le t)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{t-{\mu }_n}{{\sigma }_n}\right)|=0\text{für alle }t\in ℝ$

angegeben, die die theoretische Grundlage der Normal-Approximation ist. Vorlage:Hauptartikel Dies ist eine Methode, mit der Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Binomialverteilung durch Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz approximiert werden können. Ausgehend von der Approximation $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)\approx 𝒩({\mu }_n,{\sigma }_n^2)$ kann die Verteilungsfunktion der binomialverteilten Zufallsvariable $S_n$ mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden, in dem man die Approximation

$P(S_n\le k)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{k-{\mu }_n}{{\sigma }_n}\right)$

verwendet. Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die den Fehler kompensieren soll, der durch den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verursacht wird.

Literatur

• Vorlage:Literatur
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• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83.
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Weblinks

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)