Schleife (Topologie)

Eine freie Schleife in der Ebene.

Eine Schleife auf dem Torus mit Basispunkt $p$.

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden geschlossene Kurven auch als Schleifen bezeichnet.

Freie Schleifen und Schleifen

Eine freie Schleife in einem topologischen Raum $X$ ist eine stetige Abbildung $f$ vom Einheitsintervall $I=[0,1]$ auf $X$, wobei gilt $f(0)=f(1)$. Das bedeutet, dass der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist. Eine freie Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises $S^1$ nach $X$ gesehen werden, da $S^1$ als Quotient von $I$ unter der Identifizierung von 0 mit 1 gesehen werden kann.

Wenn im Raum $X$ ein Basispunkt $x_0\in X$ festgelegt ist, dann bezeichnet man als Schleife eine stetige Abbildung $f$ vom Einheitsintervall $I=[0,1]$ auf $X$, wobei gilt $f(0)=f(1)=x_0$. Das bedeutet, dass Anfangspunkt und Endpunkt gleich dem festen Basispunkt sind. Eine Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises $S^1$ nach $X$ gesehen werden, wobei ein fest gewählter Basispunkt $\left[1\right]$ von $S^1$ auf den fest gewählten Basispunkt $x_0\in X$ abgebildet wird.

Homotopieklassen

Man bezeichnet zwei freie Schleifen als (frei) homotop, wenn es eine Homotopie zwischen den beiden Abbildungen $S^1\to X$ gibt.

Zwei Schleifen werden als homotop bezeichnet, wenn es eine freie Homotopie $H:S^1\times [0,1]\to X$ gibt, die zusätzlich die Bedingung $H(\left[1\right],t)=x_0$ für alle $t\in [0,1]$ erfüllt. Die Mengen der Homotopieklassen von Schleifen bildet das wichtige Konzept der Fundamentalgruppe ${\pi }_1(X,x_0)$.

Die Menge aller Schleifen in einem topologischen Raum $X$ wird Schleifenraum genannt und mit $\mathrm{\Omega }X$ bezeichnet. Die Menge der freien Schleifen wird als freier Schleifenraum $LX$ bezeichnet.