Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage

Das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie, der wie alle Null-Eins-Gesetze Aussagen darüber trifft, wann ein Ereignis fast sicher (also mit Wahrscheinlichkeit 1) eintritt oder fast unmöglich ist (also Wahrscheinlichkeit 0 besitzt).

Aussage

Gegeben sei eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $ℰ$ die austauschbare σ-Algebra der Folge. Dann ist $ℰ$ P-trivial, es ist also für jedes Ereignis $E\in ℰ$ entweder $P(E)=0$ oder $P(E)=1$.

Herleitung

Die Herleitung basiert auf dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz. Dieses besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen immer P-trivial ist. Da aber unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen immer auch austauschbare Familie von Zufallsvariablen sind, gilt dann auch für jedes austauschbare Ereignis $E\in ℰ$, dass ein terminales Ereignis $B\in 𝒯$ existiert, so dass $P(E\mathrm{△}B)=0$ gibt. Daraus folgt die Aussage.

Literatur

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