Blackwell-Girshick-Gleichung

Die Blackwell-Girshick-Gleichung ist eine Gleichung in der Stochastik, mit der sich die Varianz von zufälligen Summen von Zufallsvariablen berechnen lässt.

Sie ist nach David Blackwell und Abe Girshick benannt.

Aussage

Ist $N$ eine Zufallsvariable mit Werten in ${\mathbb{N}}_0$ und sind $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, die auch von $N$ unabhängig sind, und existiert für alle $X_i$ und $N$ das zweite Moment, dann besitzt die zufällige Summe $Y:=\sum _{i=1}^N{X}_i$ die durch

$Y(\omega ):=\sum _{i=1}^{N(\omega )}{X}_i(\omega )$

definiert ist, die Varianz

$\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(N)(\mathrm{E}(X_1){)}^2+\mathrm{E}(N)\mathrm{Var}(X_1)$.

Die Blackwell-Girshick-Gleichung lässt sich mit Hilfe der bedingten Varianz und der Varianzzerlegung herleiten. Sind die $X_i$ auch Zufallsvariablen auf $\mathbb{N}$, so kann die Herleitung schon elementar mittels der Kettenregel und der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion erfolgen.

Beispiel

Sei $N$ Poisson-verteilt zum Erwartungswert $\lambda$ und die $X_i$ Bernoulli-verteilt zum Parameter $p$. Dann ist

$\mathrm{Var}(Y)=\lambda p^2+\lambda p(1-p)=\lambda p$.

Verwendung und verwandte Konzepte

Die Blackwell-Girshick-Gleichung wird in der Schadensversicherungsmathematik verwendet, um die Varianz zusammengesetzter Verteilungen wie zum Beispiel der zusammengesetzten Poisson-Verteilung zu berechnen. Ähnliche Aussagen über den Erwartungswert von zusammengesetzten Verteilungen liefert die Formel von Wald.

Literatur

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