Modulationsraum

In einem Modulationsraum wird die „Größe“ einer Funktion anhand ihres Spektrogramms bestimmt. Anschaulich wird das Spektrogramm in gleich große Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird; bei einer ähnlichen Beschreibung der Besov-Räume ist die Größe dieser Abschnitte exponentiell anwachsend. Bei Modulationsräumen handelt sich um eine Familie von Banachräumen, in denen eine Funktion mittels ihrer Kurzzeit-Fourier-Transformation mit einer Testfunktion in einem Schwartz-Raum gemessen wird. Ursprünglich von Hans Georg Feichtinger untersucht, erwiesen sich diese Räume als nützlicher Rahmen für die Zeit-Frequenz-Analyse.

Definition

Für $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$, eine nicht-negative Funktion $m(x,\omega )$ auf ${ℝ}^{2d}$ und eine Testfunktion $g\in 𝒮({ℝ}^d)$ ist der Modulationsraum $M_m^{p,q}({ℝ}^d)$ durch

$M_m^{p,q}({ℝ}^d)=\{f\in {𝒮}^{\prime }({ℝ}^d):{\left(\underset{{ℝ}^d}{\int }{(\underset{{ℝ}^d}{\int }|V_{g}f(x,\omega ){|}^{p}m(x,\omega {)}^{p}dx)}^{q/p}d\omega \right)}^{1/q}<\mathrm{\infty }\}.$

definiert.

Dabei bedeutet $V_{g}f$ die Kurzzeit-Fourier-Transformation von $f$ in Hinblick auf $g$ bei $(x,\omega )$ ausgewertet. Das heißt, $f\in M_m^{p,q}({ℝ}^d)$ ist äquivalent zu $V_{g}f\in L_m^{p,q}({ℝ}^{2d})$. Der Raum $M_m^{p,q}({ℝ}^d)$ hängt nicht von $g\in 𝒮({ℝ}^d)$ ab. Die kanonische Wahl für die Testfunktion ist die Gauß-Funktion.

Feichtinger-Algebra

Der Modulationsraum mit $p=q=1$ und $m(x,\omega )=1$, also $M_m^{1,1}({ℝ}^d)=M^1({ℝ}^d)$ wird auch als Feichtinger-Algebra bezeichnet und wurde von Feichtinger ursprünglich $S_0$ genannt, weil es sich um die kleinste Segal-Algebra handelt, die unter Zeit-Frequenzverschiebungen, also kombinierten Translations- und Modulationsoperatoren invariant ist. $M^1({ℝ}^d)$ ist ein in $L^1({ℝ}^d)\cap C_0({ℝ}^d)$ eingebetteter Banachraum und unter der Fouriertransformation invariant. Aus diesem und anderen Gründen ist $M^1({ℝ}^d)$ ein naheliegender Raum für Testfunktionen in der Zeit-Frequenz-Analyse.