Formelsammlung Tensoranalysis

δ_{i j} = δ^{i j} = δ_{i}^{j} = δ_{j}^{i} = {\begin{matrix} 1 & falls i = j \\ 0 & sonst \end{matrix}

Permutationssymbol

Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor:

ϵ_{i j k} = {\hat{e}}_{i} \cdot ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) = {\begin{matrix} 1 & falls (i, j, k) \in {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} \\ - 1 & falls (i, j, k) \in {(1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)} \\ 0 & sonst, d. h. bei doppeltem Index \end{matrix}

Kreuzprodukt:

a_{i} {\hat{e}}_{i} \times b_{j} {\hat{e}}_{j} = ϵ_{i j k} a_{i} b_{j} {\hat{e}}_{k}

ϵ_{i j k} {\hat{e}}_{k} = {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j}

(\vec{a} \times 𝐀) \cdot \vec{g} : = \vec{a} \times (𝐀 \cdot \vec{g})

\vec{b} \cdot (\vec{a} \times 𝐀) = (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot 𝐀

\vec{g} \cdot (𝐀 \times \vec{a}) : = (\vec{g} \cdot 𝐀) \times \vec{a}

(𝐀 \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 𝐀 \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

Basisvektoren

Kartesische Koordinaten

x_{1}, x_{2}, x_{3} \in ℝ

mit Basisvektoren

{\hat{e}}_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), {\hat{e}}_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), {\hat{e}}_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

die Standardbasis oder allgemeiner eine beliebige Orthonormalbasis ist.

Zylinderkoordinaten

Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:

{\hat{e}}_{ρ} = (\begin{matrix} \cos (φ) \\ \sin (φ) \\ 0 \end{matrix}), {\hat{e}}_{φ} = (\begin{matrix} - \sin (φ) \\ \cos (φ) \\ 0 \end{matrix}), {\hat{e}}_{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

{\hat{e}}_{ρ, φ} = {\hat{e}}_{φ}, {\hat{e}}_{φ, φ} = - {\hat{e}}_{ρ} {\hat{e}}_{z, φ} = \vec{0}

\vec{ω} = \dot{φ} {\hat{e}}_{z} \to {\dot{\hat{e}}}_{ρ / φ / z} = \vec{ω} \times {\hat{e}}_{ρ / φ / z}

Kugelkoordinaten

Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:

{\hat{e}}_{r} = (\begin{matrix} \sin (ϑ) \cos (φ) \\ \sin (ϑ) \sin (φ) \\ \cos (ϑ) \end{matrix}), {\hat{e}}_{ϑ} = (\begin{matrix} \cos (ϑ) \cos (φ) \\ \cos (ϑ) \sin (φ) \\ - \sin (ϑ) \end{matrix}), {\hat{e}}_{φ} = (\begin{matrix} - \sin (φ) \\ \cos (φ) \\ 0 \end{matrix})

\begin{matrix} \vec{ω} = (\begin{matrix} - \dot{ϑ} \sin (φ) \\ \dot{ϑ} \cos (φ) \\ \dot{φ} \end{matrix}) = \dot{φ} \cos (ϑ) {\hat{e}}_{r} - \dot{φ} \sin (ϑ) {\hat{e}}_{ϑ} + \dot{ϑ} {\hat{e}}_{φ} \\ \to {\dot{\hat{e}}}_{r / ϑ / φ} = \vec{ω} \times {\hat{e}}_{r / ϑ / φ} \end{matrix}

Krummlinige Koordinaten

y_{1}, y_{2}, y_{3} \in ℝ

{\vec{b}}_{i} = \frac{\partial \vec{x}}{\partial y_{i}}, {\vec{b}}^{i} = grad (y_{i}) = \frac{\partial y_{i}}{\partial \vec{x}} \to {\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{b}}^{j} = δ_{i}^{j}

Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen

Gâteaux-Differential

D f (x) [h] : = {\frac{d}{d s} f (x + s h) |}_{s = 0} = \lim_{s \to 0} \frac{f (x + s h) - f (x)}{s}

mit $s \in ℝ$ , $f, x, h$ skalar-, vektor- oder tensorwertig aber $x$ und $h$ gleichartig.

Produktregel:

D (f (x) \cdot g (x)) [h] = D f (x) [h] \cdot g (x) + f (x) \cdot D g (x) [h]

Kettenregel:

D f (g (x)) [h] = D f (g) [D g (x) [h]]

Fréchet-Ableitung

Existiert ein beschränkter linearer Operator $𝒜$ , sodass

𝒜 [h] = D f (x) [h] \forall h

gilt, so wird $𝒜$ Fréchet-Ableitung von $f$ nach $x$ genannt. Man schreibt dann auch

\frac{\partial f}{\partial x} = 𝒜

.

Ableitung von Potenzen eines Tensors

\begin{matrix} (𝐓^{- 1} \dot{)} = & - 𝐓^{- 1} \cdot \dot{𝐓} \cdot 𝐓^{- 1} = - {(𝐓^{- 1} \otimes 𝐓^{⊤ - 1})}^{\overset{23}{⊤}} : \dot{𝐓} \\ \frac{d 𝐓^{- 1}}{d 𝐓} = & - {(𝐓^{- 1} \otimes 𝐓^{⊤ - 1})}^{\overset{23}{⊤}} \\ (𝐓^{⊤ - 1} \dot{)} = & - 𝐓^{⊤ - 1} \cdot {\dot{𝐓}}^{⊤} \cdot 𝐓^{⊤ - 1} = - {(𝐓^{⊤ - 1} \otimes 𝐓^{⊤ - 1})}^{\overset{24}{⊤}} : \dot{𝐓} \\ \frac{d 𝐓^{⊤ - 1}}{d 𝐓} = & - {(𝐓^{⊤ - 1} \otimes 𝐓^{⊤ - 1})}^{\overset{24}{⊤}} \end{matrix}

siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Spezielle Tensoren vierter Stufe.

Allgemein mit n ∈ ℕ, >0, T⁰ := 1:

\begin{matrix} D 𝐓^{n} (𝐓) [𝐇] = & \sum_{m = 0}^{n - 1} 𝐓^{m} \cdot {𝐇 \cdot 𝐓}^{n - m - 1} \\ \frac{d 𝐓^{n}}{d 𝐓} = & {(\sum_{m = 0}^{n - 1} 𝐓^{m} \otimes {(𝐓^{n - m - 1})}^{⊤})}^{\overset{23}{⊤}} \end{matrix}

#Gâteaux-Differential der Inversen:

\begin{matrix} {𝐓 \cdot 𝐓}^{- 1} = & 𝟏 \to \overset{𝐇}{\overset{⏞}{D 𝐓 (𝐓) [𝐇]}} \cdot 𝐓^{- 1} + 𝐓 \cdot D 𝐓^{- 1} (𝐓) [𝐇] = 𝟎 \\ \to D 𝐓^{- 1} (𝐓) [𝐇] = & - 𝐓^{- 1} \cdot 𝐇 \cdot 𝐓^{- 1} = - {(𝐓^{- 1} \otimes 𝐓^{⊤ - 1})}^{\overset{23}{⊤}} : 𝐇 \\ D 𝐓^{⊤ - 1} (𝐓) [𝐇] = & - 𝐓^{⊤ - 1} \cdot 𝐇^{⊤} \cdot 𝐓^{⊤ - 1} = - {(𝐓^{⊤ - 1} \otimes 𝐓^{⊤ - 1})}^{\overset{24}{⊤}} : 𝐇 \end{matrix}

n ∈ ℕ, >0:

\begin{matrix} D 𝐓^{- n} (𝐓) [𝐇] = & \sum_{m = 1 - n}^{0} 𝐓^{m} \cdot D 𝐓^{- 1} (𝐓) [𝐇] \cdot 𝐓^{1 - n - m} \\ = & - \sum_{m = 1 - n}^{0} 𝐓^{m - 1} \cdot {𝐇 \cdot 𝐓}^{- n - m} \\ \frac{d 𝐓^{- n}}{d 𝐓} = & - {(\sum_{m = 1 - n}^{0} 𝐓^{m - 1} \otimes {(𝐓^{- n - m})}^{⊤})}^{\overset{23}{⊤}} \end{matrix}

\begin{matrix} D 𝐓^{⊤ - n} (𝐓) [𝐇] = & - \sum_{m = 1 - n}^{0} {(𝐓^{m - 1})}^{⊤} \cdot {𝐇^{⊤} \cdot (𝐓}^{- n - m})^{⊤} \\ \frac{d 𝐓^{⊤ - n}}{d 𝐓} = & - {(\sum_{m = 1 - n}^{0} {(𝐓^{m - 1})}^{⊤} \otimes {(𝐓^{- n - m})}^{⊤})}^{\overset{24}{⊤}} \end{matrix}

Orthogonaler Tensor (Q·Q^⊤=1):

{\dot{𝐐}}^{⊤} = - 𝐐^{⊤} \cdot \dot{𝐐} \cdot 𝐐^{⊤}

Ableitungen nach dem Ort

Nabla-Operator

#Kartesische Koordinaten $\vec{x}$ : $\nabla = {\hat{e}}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}$

#Zylinderkoordinaten: $\nabla = {\vec{e}}_{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} + \frac{1}{ρ} {\vec{e}}_{φ} \frac{\partial}{\partial φ} + {\vec{e}}_{z} \frac{\partial}{\partial z}$

#Kugelkoordinaten: $\nabla = {\vec{e}}_{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} {\vec{e}}_{ϑ} \frac{\partial}{\partial ϑ} + \frac{1}{r \sin (ϑ)} {\vec{e}}_{φ} \frac{\partial}{\partial φ}$

#Krummlinige Koordinaten $\vec{y}$ : $\nabla = {\vec{b}}^{j} \frac{\partial}{\partial y_{j}}$ mit ${\vec{b}}^{j} = \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{i}} {\hat{e}}_{i}$ .

Gradient

Definition des Gradienten/Allgemeines

Definierende Eigenschaft bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:^[1]

f (\vec{y}) - f (\vec{x}) = grad (f) \cdot (\vec{y} - \vec{x}) + 𝒪 (| \vec{y} - \vec{x} |)

wenn

\vec{y} \to \vec{x}

Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig. Berechnung bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:

grad (f) \cdot \vec{h} = {\frac{d}{d s} f (\vec{x} + s \vec{h}) |}_{s = 0} = \lim_{s \to 0} \frac{f (\vec{x} + s \vec{h}) - f (\vec{x})}{s} \forall \vec{h} \in 𝕍

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:

rot (\vec{f}) = \vec{0} \to \exists g : \vec{f} = grad (g)

.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

Volumen $v$ mit
Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $d \vec{a}$

grad (f) = \lim_{v \to 0} (\frac{1}{v} \int_{a} f d \vec{a})

Skalarfeld f:

grad (f) = \nabla f = : \frac{\partial f}{\partial \vec{x}}

Vektorfeld $\vec{f} = f_{i} {\hat{e}}_{i}$ :^[2]

g r a d (\vec{f}) = (\nabla \otimes \vec{f})^{⊤} = : \frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{x}}

g r a d (\vec{x}) = 𝟏

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

g r a d (f) = d i v (f 𝟏) = \nabla \cdot (f 𝟏)

g r a d (f) \times \vec{c} = r o t (f \vec{c})

Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen

g r a d (f) = f_{, i} {\hat{e}}_{i}

g r a d (\vec{f}) = {\vec{f}}_{, i} \otimes {\hat{e}}_{i} = {\hat{e}}_{i} \otimes g r a d (f_{i}) = f_{i, j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}

g r a d (f) = f_{, ρ} {\hat{e}}_{ρ} + \frac{f_{, φ}}{ρ} {\hat{e}}_{φ} + f_{, z} {\hat{e}}_{z}

\begin{matrix} g r a d (\vec{f}) = & {\hat{e}}_{ρ} \otimes g r a d (f_{ρ}) + {\hat{e}}_{φ} \otimes g r a d (f_{φ}) + {\hat{e}}_{z} \otimes g r a d (f_{z}) \\ + \frac{1}{ρ} (f_{ρ} {\hat{e}}_{φ} - f_{φ} {\hat{e}}_{ρ}) \otimes {\hat{e}}_{φ} \end{matrix}

g r a d (f) = f_{, r} {\hat{e}}_{r} + \frac{f_{, ϑ}}{r} {\hat{e}}_{ϑ} + \frac{f_{, φ}}{r \sin (ϑ)} {\hat{e}}_{φ}

\begin{matrix} g r a d (\vec{f}) = & {\hat{e}}_{r} \otimes g r a d (f_{r}) + {\hat{e}}_{ϑ} \otimes g r a d (f_{ϑ}) + {\hat{e}}_{φ} \otimes g r a d (f_{φ}) \\ + \frac{f_{r}}{r} (𝟏 - {\hat{e}}_{r} \otimes {\hat{e}}_{r}) - {\hat{e}}_{r} \otimes \frac{f_{ϑ} {\hat{e}}_{ϑ} + f_{φ} {\hat{e}}_{φ}}{r} + \frac{f_{ϑ} {\hat{e}}_{φ} - f_{φ} {\hat{e}}_{ϑ}}{r \tan (ϑ)} \otimes {\hat{e}}_{φ} \end{matrix}

#Krummlinige Koordinaten: Vorlage:Siehe auch Christoffelsymbole: $Γ_{i j}^{k} = {\vec{g}}_{i, j} \cdot {\vec{g}}^{k}$

Vektorfelder:

g r a d ({\vec{g}}_{i}) = Γ_{i j}^{k} {\vec{g}}_{k} \otimes {\vec{g}}^{j}

g r a d ({\vec{g}}^{k}) = - Γ_{i j}^{k} {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j}

g r a d (f^{i} {\vec{g}}_{i}) = {f^{i} |}_{j} {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}^{j}

g r a d (f_{i} {\vec{g}}^{i}) = {f_{i} |}_{j} {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j}

Mit den kovarianten Ableitungen

{f^{i} |}_{j} = f_{, j}^{i} + Γ_{k j}^{i} f^{k}

{f_{i} |}_{j} = f_{i, j} - Γ_{i j}^{k} f_{k}

Tensorfelder:

g r a d (𝐓) [\vec{h}] = (\vec{h} \cdot {\vec{g}}^{k}) 𝐓_{, k} = \vec{h} \cdot ({\vec{g}}^{k} \otimes 𝐓_{, k}) = (𝐓_{, k} \otimes {\vec{g}}^{k}) \cdot \vec{h}

Soll das Argument wie beim Vektorgradient rechts vom Operator stehen, dann lautet der Tensorgradient

g r a d (𝐓) = 𝐓_{, k} \otimes {\vec{g}}^{k}

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:

\begin{matrix} g r a d (T^{i j} {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) = & {T_{i j} |}_{k} {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j} \otimes {\vec{g}}^{k}, {T_{i j} |}_{k} & = T_{i j, k} - Γ_{i k}^{l} T_{l j} - Γ_{j k}^{l} T_{i l} \\ g r a d (T^{i j} {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) = & {T^{i j} |}_{k} {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} \otimes {\vec{g}}^{k}, {T^{i j} |}_{k} & = T_{, k}^{i j} + Γ_{l k}^{i} T^{l j} + Γ_{l k}^{j} T^{i l} \\ g r a d (T_{i}^{. j} {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) = & {T_{i}^{. j} |}_{k} {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}_{j} \otimes {\vec{g}}^{k}, {T_{i}^{. j} |}_{k} & = T_{i, k}^{. j} - Γ_{i k}^{l} T_{l}^{. j} + Γ_{l k}^{j} T_{i}^{. l} \\ g r a d (T_{. j}^{i}) {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}^{j} = & {T_{. j}^{i} |}_{k} {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}^{j} \otimes {\vec{g}}^{k}, {T_{. j}^{i} |}_{k} & = T_{. j, k}^{i} + Γ_{l k}^{i} T_{. j}^{l} - Γ_{j k}^{l} T_{. l}^{i} \end{matrix}

Produktregel für Gradienten

\begin{matrix} g r a d (f g) & = & (f_{, i} g + f g_{, i}) {\hat{e}}_{i} & = & g r a d (f) g + f g r a d (g) \\ g r a d (f \vec{g}) & = & (f_{, i} \vec{g} + f {\vec{g}}_{, i}) \otimes {\hat{e}}_{i} & = & \vec{g} \otimes g r a d (f) + f g r a d (\vec{g}) \\ g r a d (\vec{f} \cdot \vec{g}) & = & ({\vec{f}}_{, i} \cdot \vec{g} + \vec{f} \cdot {\vec{g}}_{, i}) {\hat{e}}_{i} & = & \vec{g} \cdot g r a d (\vec{f}) + \vec{f} \cdot g r a d (\vec{g}) \\ g r a d (\vec{f} \times \vec{g}) & = & ({\vec{f}}_{, i} \times \vec{g} + \vec{f} \times {\vec{g}}_{, i}) \otimes {\hat{e}}_{i} & = & \vec{f} \times g r a d (\vec{g}) - \vec{g} \times g r a d (\vec{f}) \end{matrix}

In drei Dimensionen ist speziell^[3]

g r a d (\vec{f} \cdot \vec{g}) = g r a d (\vec{f}) \cdot \vec{g} + g r a d (\vec{g}) \cdot \vec{f} + \vec{f} \times r o t (\vec{g}) + \vec{g} \times r o t (\vec{f})

Beliebige Basis:

g r a d (f_{i} {\vec{b}}_{i}) = {\vec{b}}_{i} \otimes g r a d (f_{i}) + f_{i} g r a d ({\vec{b}}_{i})

Divergenz

Definition der Divergenz/Allgemeines

Vektorfeld $\vec{f}$ :

d i v (\vec{f}) = \nabla \cdot \vec{f} = S p (g r a d (\vec{f}))

d i v (\vec{x}) = S p (g r a d (\vec{x})) = S p (𝟏) = 3

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:^[1]

d i v (𝐓) \cdot \vec{c} = d i v (𝐓^{⊤} \cdot \vec{c}) \forall \vec{c} \in 𝕍

→

d i v (𝐓) = \nabla \cdot (𝐓^{⊤})

Koordinatenfreie Darstellung:

Volumen $v$ mit
Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $d \vec{a}$

d i v (\vec{f}) = \lim_{v \to 0} (\frac{1}{v} \int_{a} \vec{f} \cdot d \vec{a})

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

\begin{matrix} d i v (\vec{f}) & = & \nabla \cdot \vec{f} & = & S p (g r a d (\vec{f})) \\ d i v (f 𝟏) & = & \nabla \cdot (f 𝟏) & = & g r a d (f) \end{matrix}

Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen

d i v (\vec{f}) = {\vec{f}}_{, i} \cdot {\hat{e}}_{i} = f_{i, i}

d i v (𝐓) = 𝐓_{, i} \cdot {\hat{e}}_{i} = T_{i j, j} {\hat{e}}_{i}

\nabla \cdot 𝐓 = {\hat{e}}_{i} \cdot 𝐓_{, i} = T_{i j, i} {\hat{e}}_{j} = T_{j i, j} {\hat{e}}_{i}

d i v (\vec{f}) = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ f_{ρ}) + \frac{1}{ρ} f_{φ, φ} + f_{z, z}

\begin{matrix} d i v (𝐓) = & (T_{ρ ρ, ρ} + \frac{1}{ρ} (T_{ρ φ, φ} + T_{ρ ρ} - T_{φ φ}) + T_{ρ z, z}) {\hat{e}}_{ρ} \\ + (T_{φ ρ, ρ} + \frac{1}{ρ} (T_{φ φ, φ} + T_{ρ φ} + T_{φ ρ}) + T_{φ z, z}) {\hat{e}}_{φ} \\ + (T_{z ρ, ρ} + \frac{1}{ρ} (T_{z φ, φ} + T_{z ρ}) + T_{z z, z}) {\hat{e}}_{z} \end{matrix}

$\nabla \cdot 𝐓 = d i v (𝐓^{⊤})$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

\begin{matrix} d i v (\vec{f}) = & f_{r, r} + \frac{2 f_{r} + f_{ϑ, ϑ}}{r} + \frac{f_{ϑ} \cos (ϑ) + f_{φ, φ}}{r \sin (ϑ)} \\ d i v (𝐓) = & (T_{r r, r} + \frac{2 T_{r r} - T_{ϑ ϑ} - T_{φ φ} + T_{r ϑ, ϑ}}{r} + \frac{T_{r φ, φ} + T_{r ϑ} \cos (ϑ)}{r \sin (ϑ)}) {\hat{e}}_{r} \\ (T_{ϑ r, r} + \frac{2 T_{ϑ r} + T_{r ϑ} + T_{ϑ ϑ, ϑ}}{r} + \frac{(T_{ϑ ϑ} - T_{φ φ}) \cos (ϑ) + T_{ϑ φ, φ}}{r \sin (ϑ)}) {\hat{e}}_{ϑ} \\ (T_{φ r, r} + \frac{2 T_{φ r} + T_{r φ} + T_{φ ϑ, ϑ}}{r} + \frac{(T_{ϑ φ} + T_{φ ϑ}) \cos (ϑ) + T_{φ φ, φ}}{r \sin (ϑ)}) {\hat{e}}_{φ} \end{matrix}

$\nabla \cdot 𝐓 = d i v (𝐓^{⊤})$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Produktregel für Divergenzen

d i v (f \vec{g}) = \nabla \cdot (f \vec{g}) = (f_{, i} \vec{g} + f {\vec{g}}_{, i}) \cdot {\hat{e}}_{i} = g r a d (f) \cdot \vec{g} + f d i v (\vec{g})

d i v (\vec{f} \times \vec{g}) = \nabla \cdot (\vec{f} \times \vec{g}) = ({\vec{f}}_{, i} \times \vec{g} + \vec{f} \times {\vec{g}}_{, i}) \cdot {\hat{e}}_{i} = \vec{g} \cdot r o t (\vec{f}) - \vec{f} \cdot r o t (\vec{g})

\begin{matrix} d i v (\vec{f} \otimes \vec{g}) = & ({\vec{f}}_{, i} \otimes \vec{g} + \vec{f} \otimes {\vec{g}}_{, i}) \cdot {\hat{e}}_{i} & = & g r a d (\vec{f}) \cdot \vec{g} + d i v (\vec{g}) \vec{f} \\ d i v (f 𝐓) = & (f_{, i} 𝐓 + f 𝐓_{, i}) \cdot {\hat{e}}_{i} & = & 𝐓 \cdot g r a d (f) + f d i v (𝐓) \\ d i v (𝐓 \cdot \vec{f}) = & (𝐓_{, i} \cdot \vec{f} + 𝐓 \cdot {\vec{f}}_{, i}) \cdot {\hat{e}}_{i} & = & d i v (𝐓^{⊤}) \cdot \vec{f} + 𝐓^{⊤} : g r a d (\vec{f}) \\ d i v (\vec{f} \times 𝐓) = & ({\vec{f}}_{, i} \times 𝐓 + \vec{f} \times 𝐓_{, i}) \cdot {\hat{e}}_{i} & = & \vec{i} (g r a d (\vec{f}) \cdot 𝐓^{⊤}) + \vec{f} \times d i v (𝐓) \end{matrix}

\begin{matrix} \nabla \cdot (\vec{f} \otimes \vec{g}) = & {\hat{e}}_{i} \cdot ({\vec{f}}_{, i} \otimes \vec{g} + \vec{f} \otimes {\vec{g}}_{, i}) & = & (\nabla \cdot \vec{f}) \vec{g} + (\nabla \otimes \vec{g})^{⊤} \cdot \vec{f} \\ \nabla \cdot (f 𝐓) = & {\hat{e}}_{i} \cdot (f_{, i} 𝐓 + f 𝐓_{, i}) & = & (\nabla f) \cdot 𝐓 + f \nabla \cdot 𝐓 \\ \nabla \cdot (𝐓 \cdot \vec{f}) = & {\hat{e}}_{i} \cdot (𝐓_{, i} \cdot \vec{f} + 𝐓 \cdot {\vec{f}}_{, i}) & = & (\nabla \cdot 𝐓) \cdot \vec{f} + 𝐓 : (\nabla \otimes \vec{f}) \\ \nabla \cdot (𝐓 \times \vec{f}) = & {\hat{e}}_{i} \cdot (𝐓_{, i} \times \vec{f} + 𝐓 \times {\vec{f}}_{, i}) & = & (\nabla \cdot 𝐓) \times \vec{f} - \vec{i} ((\nabla \otimes \vec{f})^{⊤} \cdot 𝐓) \end{matrix}

Beliebige Basis:

d i v (f_{i} {\vec{b}}_{i}) = \nabla \cdot (f_{i} {\vec{b}}_{i}) = g r a d (f_{i}) \cdot {\vec{b}}_{i} + f_{i} d i v ({\vec{b}}_{i})

d i v (T^{i j} {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}) = (g r a d (T^{i j}) \cdot {\vec{b}}_{j}) {\vec{b}}_{i} + T^{i j} (g r a d ({\vec{b}}_{i}) \cdot {\vec{b}}_{j} + d i v ({\vec{b}}_{j}) {\vec{b}}_{i})

\nabla \cdot (T^{i j} {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}) = ((\nabla T^{i j}) \cdot {\vec{b}}_{i}) {\vec{b}}_{j} + T^{i j} ((\nabla \cdot {\vec{b}}_{i}) {\vec{b}}_{j} + (\nabla {\vec{b}}_{j}) \cdot {\vec{b}}_{i})

Produkt mit Konstanten:

d i v (f 𝐂) = 𝐂 \cdot g r a d (f) \to d i v (f 𝟏) = g r a d (f)

\nabla \cdot (f 𝐂) = g r a d (f) \cdot 𝐂 \to \nabla \cdot (f 𝟏) = \nabla f

\begin{matrix} d i v (𝐂 \cdot \vec{f}) = 𝐂^{⊤} : g r a d (\vec{f}) \to d i v (\vec{f}) = & d i v (𝟏 \cdot \vec{f}) = 𝟏 : g r a d (\vec{f}) \\ = & S p (g r a d (\vec{f})) \end{matrix}

Rotation

Definition der Rotation/Allgemeines

Vektorfeld $\vec{f}$ :

r o t (\vec{f}) = \nabla \times \vec{f}

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:^[1]

r o t (𝐓) \cdot \vec{c} = r o t (𝐓^{⊤} \cdot \vec{c}) \forall \vec{c} \in 𝕍

→

r o t (𝐓) = \nabla \times (𝐓^{⊤})

Allgemeine Identitäten:

{𝐓 = 𝐓}^{⊤} \to S p (r o t (𝐓)) = S p (\nabla \times 𝐓) = 0

r o t (\vec{x}) = \vec{0}

Integrabilitätsbedingung^[4]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

d i v (\vec{f}) = 0 \to \exists \vec{g} : \vec{f} = r o t (\vec{g})

.

Siehe auch #Satz über rotationsfreie Felder.

Koordinatenfreie Darstellung:

Volumen $v$ mit
Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $d \vec{a}$

r o t (\vec{f}) = - \lim_{v \to 0} (\frac{1}{v} \int_{a} \vec{f} \times d \vec{a})

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

\begin{matrix} r o t (f \vec{c}) = & g r a d (f) \times \vec{c} \\ r o t (\vec{f}) = & - \vec{i} (g r a d (\vec{f})) = \vec{i} (\nabla \otimes \vec{f}) = \nabla \times \vec{f} \end{matrix}

Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen

\begin{matrix} r o t (\vec{f}) = & f_{j, i} {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} = ϵ_{i j k} f_{j, i} {\hat{e}}_{k} \\ = & (f_{3, 2} - f_{2, 3}) {\hat{e}}_{1} + (f_{1, 3} - f_{3, 1}) {\hat{e}}_{2} + (f_{2, 1} - f_{1, 2}) {\hat{e}}_{3} \end{matrix}

r o t (𝐓) = {\hat{e}}_{i} \times 𝐓_{, i}^{⊤} = {\hat{e}}_{i} \times T_{l j, i} {\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{l} = ϵ_{i j k} T_{l j, i} {\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{l}

r o t (\vec{f}) = \frac{f_{z, φ} - ρ f_{φ, z}}{ρ} {\hat{e}}_{ρ} + (f_{ρ, z} - f_{z, ρ}) {\hat{e}}_{φ} + \frac{f_{φ} + ρ f_{φ, ρ} - f_{ρ, φ}}{ρ} {\hat{e}}_{z}

r o t (𝐓) = {\hat{e}}_{ρ} \times (𝐓_{, ρ}^{⊤}) + \frac{1}{ρ} {\hat{e}}_{φ} \times (𝐓_{, φ}^{⊤}) + {\hat{e}}_{z} \times (𝐓_{, z}^{⊤})

\nabla \times 𝐓 = {\hat{e}}_{ρ} \times 𝐓_{, ρ} + \frac{1}{ρ} {\hat{e}}_{φ} \times 𝐓_{, φ} + {\hat{e}}_{z} \times 𝐓_{, z}

\begin{matrix} r o t (\vec{f}) = & \frac{f_{φ, ϑ} \sin (ϑ) + f_{φ} \cos (ϑ) - f_{ϑ, φ}}{r \sin (ϑ)} {\hat{e}}_{r} + (\frac{f_{r, φ}}{r \sin (ϑ)} - \frac{f_{φ} + r f_{φ, r}}{r}) {\hat{e}}_{ϑ} \\ + \frac{f_{ϑ} + r f_{ϑ, r} - f_{r, ϑ}}{r} {\hat{e}}_{φ} \end{matrix}

r o t (𝐓) = {\hat{e}}_{r} \times (𝐓_{, r}^{⊤}) + \frac{1}{r} {\hat{e}}_{ϑ} \times (𝐓_{, ϑ}^{⊤}) + \frac{1}{r \sin (ϑ)} {\hat{e}}_{φ} \times (𝐓_{, φ}^{⊤})

\nabla \times 𝐓 = {\hat{e}}_{r} \times 𝐓_{, r} + \frac{1}{r} {\hat{e}}_{ϑ} \times 𝐓_{, ϑ} + \frac{1}{r \sin (ϑ)} {\hat{e}}_{φ} \times 𝐓_{, φ}

Produktregel für Rotationen

\begin{matrix} r o t (f \vec{g}) = & {\hat{e}}_{i} \times (f_{, i} \vec{g} + f {\vec{g}}_{, i}) = g r a d (f) \times \vec{g} + f r o t (\vec{g}) \\ r o t (\vec{f} \times \vec{g}) = & {\hat{e}}_{i} \times ({\vec{f}}_{, i} \times \vec{g} + \vec{f} \times {\vec{g}}_{, i}) \\ = & ({\hat{e}}_{i} \cdot \vec{g}) {\vec{f}}_{, i} - ({\hat{e}}_{i} \cdot {\vec{f}}_{, i}) \vec{g} + ({\hat{e}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{, i}) \vec{f} - ({\hat{e}}_{i} \cdot \vec{f}) {\vec{g}}_{, i} \\ = & g r a d (\vec{f}) \cdot \vec{g} - d i v (\vec{f}) \vec{g} + d i v (\vec{g}) \vec{f} - g r a d (\vec{g}) \cdot \vec{f} \\ = & d i v (\vec{f} \otimes \vec{g}) - d i v (\vec{g} \otimes \vec{f}) = \nabla \cdot (\vec{g} \otimes \vec{f}) - \nabla \cdot (\vec{f} \otimes \vec{g}) \end{matrix}

\begin{matrix} r o t (\vec{f} \otimes \vec{g}) = & {\hat{e}}_{i} \times ({\vec{g}}_{, i} \otimes \vec{f} + \vec{g} \otimes {\vec{f}}_{, i}) & = & r o t (\vec{g}) \otimes \vec{f} - \vec{g} \times g r a d (\vec{f})^{⊤} \\ r o t (f 𝐓) = & {\hat{e}}_{k} \times (f_{, k} 𝐓^{⊤} + f 𝐓_{, k}^{⊤}) & = & g r a d (f) \times (𝐓^{⊤}) + f r o t (𝐓) \end{matrix}

$\begin{matrix} r o t (𝐓 \cdot \vec{f}) = & {\hat{e}}_{k} \times (𝐓_{, k} \cdot \vec{f} + 𝐓 \cdot {\vec{f}}_{, k}) \\ = & r o t (𝐓^{⊤}) \cdot \vec{f} + \vec{i} ({\hat{e}}_{k} \otimes 𝐓 \cdot {\vec{f}}_{, k}) \\ = & r o t (𝐓^{⊤}) \cdot \vec{f} - \vec{i} (𝐓 \cdot g r a d (\vec{f})) \\ r o t (\vec{f} \times 𝐓) = & - r o t ((𝐓^{⊤} \times \vec{f})^{⊤}) \\ = & - \nabla \times (𝐓^{⊤} \times \vec{f}) \\ = & - (\nabla \times 𝐓^{⊤}) \times \vec{f} + 𝐓^{⊤} # (\nabla \otimes \vec{f}) \\ = & - r o t (𝐓) \times \vec{f} + {(𝐓 # g r a d (\vec{f}))}^{⊤} \end{matrix}$

\begin{matrix} \nabla \times (\vec{f} \otimes \vec{g}) = & {\hat{e}}_{i} \times ({\vec{f}}_{, i} \otimes \vec{g} + \vec{f} \otimes {\vec{g}}_{, i}) & = & (\nabla \times \vec{f}) \otimes \vec{g} - \vec{f} \times (\nabla \otimes (\vec{g}) \\ \nabla \times (f 𝐓) = & {\hat{e}}_{k} \times (f_{, k} 𝐓 + f 𝐓_{, k}) & = & (\nabla f) \times 𝐓 + f \nabla \times 𝐓 \end{matrix}

$\begin{matrix} \nabla \times (𝐓 \cdot \vec{f}) = & {\hat{e}}_{k} \times (𝐓_{, k} \cdot \vec{f} + 𝐓 \cdot {\vec{f}}_{, k}) \\ = & (\nabla \times 𝐓) \cdot \vec{f} + \vec{i} ({\hat{e}}_{k} \otimes 𝐓 \cdot {\vec{f}}_{, k}) \\ = & (\nabla \times 𝐓) \cdot \vec{f} - \vec{i} (𝐓 \cdot (\nabla \otimes \vec{f})^{⊤}) \\ \nabla \times (𝐓 \times \vec{f}) = & {\hat{e}}_{k} \times (𝐓_{, k} \times \vec{f} + (𝐓 \cdot {\hat{e}}_{i}) \otimes {\hat{e}}_{i} \times {\vec{f}}_{, k}) \\ = & (\nabla \times 𝐓) \times \vec{f} - (𝐓 \cdot {\hat{e}}_{i}) \times {\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{i} \times {\vec{f}}_{, k} \\ = & (\nabla \times 𝐓) \times \vec{f} - 𝐓 # (\nabla \otimes \vec{f}) \end{matrix}$

Beliebige Basis:

r o t (f^{i} {\vec{b}}_{i}) = g r a d (f^{i}) \times {\vec{b}}_{i} + f^{i} r o t ({\vec{b}}_{i})

Produkt mit Konstanten:

\begin{matrix} r o t (𝐂 \cdot \vec{f}) & = & - \vec{i} (𝐂 \cdot g r a d (\vec{f})) \\ \to r o t (\vec{f}) = r o t (𝟏 \cdot \vec{f}) = - \vec{i} (g r a d (\vec{f})) \\ r o t (\vec{f} \times 𝟏) & = & 𝟏 # g r a d (\vec{f})^{⊤} = g r a d (\vec{f}) - d i v (\vec{f}) 𝟏 \end{matrix}

In divergenzfreien Feldern ist also: $r o t (\vec{f} \times 𝟏) = g r a d (\vec{f})$

Laplace-Operator

Definition/Allgemeines

Δ : = \nabla \cdot \nabla = \nabla^{2}

Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:

\begin{matrix} Δ f & = & d i v (g r a d (f)) & = & \nabla \cdot (\nabla f) \\ Δ \vec{f} & = & d i v (g r a d (\vec{f})) & = & \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{f}) \end{matrix}

„Vektorieller Laplace-Operator“:

Δ \vec{f} = g r a d (d i v (\vec{f})) - r o t (r o t (\vec{f}))

Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

\begin{matrix} Δ f = & f_{, k k} \\ Δ \vec{f} = & Δ f_{i} {\hat{e}}_{i} = f_{i, k k} {\hat{e}}_{i} \\ Δ 𝐓 = & Δ T_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = T_{i j, k k} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} \end{matrix}

\begin{matrix} Δ f = & \frac{f_{, ρ}}{ρ} + f_{, ρ ρ} + \frac{f_{, φ φ}}{ρ^{2}} + f_{, z z} \\ Δ \vec{f} = & (Δ f_{ρ} - \frac{2 f_{φ, φ} + f_{ρ}}{ρ^{2}}) {\hat{e}}_{ρ} + (Δ f_{φ} + \frac{2 f_{ρ, φ} - f_{φ}}{ρ^{2}}) {\hat{e}}_{φ} + Δ f_{z} {\hat{e}}_{z} \end{matrix}

\begin{matrix} Δ f = & \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin (ϑ)} \frac{\partial}{\partial ϑ} (\sin (ϑ) \frac{\partial f}{\partial ϑ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} (ϑ)} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}} \\ = & \frac{2 f_{, r}}{r} + f_{, r r} + \frac{f_{, ϑ} \cos (ϑ) + f_{, ϑ ϑ} \sin (ϑ)}{r^{2} \sin (ϑ)} + \frac{f_{, φ φ}}{r^{2} \sin^{2} (ϑ)} \\ Δ \vec{f} = & (Δ f_{r} - \frac{2}{r^{2}} (f_{r} + f_{ϑ, ϑ}) - 2 \frac{f_{φ, φ} + f_{ϑ} \cos (ϑ)}{r^{2} \sin (ϑ)}) {\hat{e}}_{r} \\ + (Δ f_{ϑ} + \frac{2 f_{r, ϑ}}{r^{2}} - \frac{f_{ϑ} + 2 f_{φ, φ} \cos (ϑ)}{r^{2} \sin^{2} (ϑ)}) {\hat{e}}_{ϑ} \\ + (Δ f_{φ} - \frac{f_{φ} - 2 f_{ϑ, φ} \cos (ϑ) - 2 f_{r, φ} \sin (ϑ)}{r^{2} \sin^{2} (ϑ)}) {\hat{e}}_{φ} \end{matrix}

Verknüpfungen

Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.

\begin{matrix} d i v (r o t (\vec{f})) & = & \nabla \cdot (\nabla \times \vec{f}) & = & 0 \\ r o t (g r a d (f)) & = & \nabla \times \nabla f & = & \vec{0} \\ d i v (g r a d (f) \times g r a d (g)) & = & \nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \cdot (\nabla \times \nabla f) & = & 0 \\ r o t (g r a d (\vec{f})) & = & \nabla \times (\nabla \otimes \vec{f}) & = & 𝟎 \\ d i v (r o t (𝐓)^{⊤}) & = & \nabla \cdot (\nabla \times 𝐓) & = & \vec{0} \end{matrix}

\begin{matrix} d i v (g r a d (f)) & = & \nabla \cdot (\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla) f & = & Δ f \\ d i v (g r a d (\vec{f})) & = & \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{f}) = (\nabla \cdot \nabla) \vec{f} & = & Δ \vec{f} \end{matrix}

\begin{matrix} d i v (g r a d (\vec{f})^{⊤}) & = & \nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec{f}}^{⊤}) = f_{i, i j} {\hat{e}}_{j} & = & g r a d (d i v (\vec{f})) \\ r o t (g r a d (\vec{f})^{⊤}) & = & \nabla \times ((\nabla \otimes \vec{f})^{⊤}) = \nabla \times ({\vec{f}}_{, i} \otimes {\hat{e}}_{i}) & = & g r a d (r o t (\vec{f})) \end{matrix}

\begin{matrix} r o t (r o t (\vec{f})) & = & \nabla \times (\nabla \times \vec{f}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{f}) - Δ \vec{f} & = & g r a d (d i v (\vec{f})) - Δ \vec{f} \\ r o t (r o t (𝐓)^{⊤})^{⊤} & = & (\nabla \times (\nabla \times (𝐓^{⊤})))^{⊤} \\ = & (\nabla \otimes \nabla \cdot 𝐓^{⊤})^{⊤} - (\nabla \cdot \nabla) 𝐓 & = & g r a d (d i v (𝐓)) - Δ 𝐓 \end{matrix}

\begin{matrix} r o t (r o t (𝐓^{⊤})) & = & - Δ 𝐓 - g r a d (g r a d (S p (𝐓))) + g r a d (d i v (𝐓)) + g r a d (d i v (𝐓^{⊤}))^{⊤} \\ + [Δ S p (𝐓) - d i v (d i v (𝐓))] 𝟏 \end{matrix}

Bei symmetrischem T = T^⊤ gilt:

\begin{matrix} r o t (r o t (𝐓)) & = & - Δ 𝐓 - g r a d (g r a d (S p (𝐓))) + g r a d (d i v (𝐓)) + g r a d (d i v (𝐓))^{⊤} \\ + [Δ S p (𝐓) - d i v (d i v (𝐓))] 𝟏 \end{matrix}

Wenn zusätzlich $𝐓 = 𝐓^{⊤} = 𝐆 - S p (𝐆) 𝟏$ dann ist:

r o t (r o t (𝐓)) = - Δ 𝐆 + g r a d (d i v (𝐆)) + g r a d (d i v (𝐆))^{⊤} - d i v (d i v (𝐆)) 𝟏

Der Laplace-Operator kann zwischen den anderen Operatoren wie ein Skalar behandelt werden, also an beliebiger Stelle in die Formeln eingesetzt werden, z. B.:

\begin{matrix} Δ r o t (r o t (\vec{f})) = r o t (Δ r o t (\vec{f})) = r o t (r o t (Δ \vec{f})) = \dots \\ \dots = Δ g r a d (d i v (\vec{f})) - Δ Δ \vec{f} = g r a d (Δ d i v (\vec{f})) - Δ Δ \vec{f} = g r a d (d i v (Δ \vec{f})) - Δ Δ \vec{f} \end{matrix}

Grassmann-Entwicklung

\begin{matrix} \vec{f} \times r o t (\vec{f}) = & \frac{1}{2} g r a d (\vec{f} \cdot \vec{f}) - g r a d (\vec{f}) \cdot \vec{f} \\ = & (g r a d (\vec{f})^{⊤} - g r a d (\vec{f})) \cdot \vec{f} = \vec{i} (g r a d (\vec{f})) \times \vec{f} \end{matrix}

g r a d (\vec{f}) \cdot \vec{f} = \frac{1}{2} g r a d (\vec{f} \cdot \vec{f}) - \vec{f} \times r o t (\vec{f})

Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation

Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist harmonisch:

div (\vec{f}) = 0 und r o t (\vec{f}) = \vec{0} \to Δ \vec{f} = \vec{0}

Helmholtz-Theorem

Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.
$\begin{matrix} \vec{f} = {\vec{f}}_{1} + {\vec{f}}_{2} : & d i v ({\vec{f}}_{1}) = 0 & und & rot ({\vec{f}}_{2}) = \vec{0} \\ \leftrightarrow \exists g, \vec{g} : & \vec{f} = & rot (\vec{g}) & + & g r a d (g) \end{matrix}$

Satz über rotationsfreie Felder

\begin{matrix} I : & r o t (\vec{u}) : = {\hat{e}}_{k} \times {\vec{u}}_{, k} = \vec{0} & \to & \exists f : & \vec{u} = g r a d (f) \\ II : & r o t (𝐓) = 𝟎 & \to & \exists \vec{u} : & 𝐓 = g r a d (\vec{u}) \\ III : & r o t (𝐓) = 𝟎 und S p (𝐓) = 0 & \to & \exists 𝐖 : & 𝐓 = r o t (𝐖) und 𝐖 = - 𝐖^{⊤} \end{matrix}

oder

\begin{matrix} II : & \nabla \times (𝐓^{⊤}) = 𝟎 & \to & \exists \vec{u} : & 𝐓 = g r a d (\vec{u}) \\ III : & \nabla \times (𝐓^{⊤}) = 𝟎 und S p (𝐓) = 0 & \to & \exists 𝐖 : & 𝐓 = r o t (𝐖) und 𝐖 = - 𝐖^{⊤} \end{matrix}

Gaußscher Integralsatz

Volumen $v$ mit Volumenform $d v$ und
Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $d \vec{a}$
Ortsvektoren $\vec{x} \in v$
Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion $f, \vec{f}, 𝐓$ des Ortes $\vec{x}$ :

\begin{matrix} \int_{v} g r a d (f) d v & = & \int_{a} f d \vec{a} \\ \int_{v} g r a d (\vec{f}) d v & = & \int_{a} \vec{f} \otimes d \vec{a} \\ \int_{v} d i v (\vec{f}) d v & = & \int_{a} \vec{f} \cdot d \vec{a} \\ \int_{v} r o t (\vec{f}) d v & = & - \int_{a} \vec{f} \times d \vec{a} \\ \int_{v} d i v (𝐓) d v & = & \int_{a} 𝐓 \cdot d \vec{a} \\ \int_{v} \nabla \cdot 𝐓 d v & = & \int_{a} 𝐓^{⊤} \cdot d \vec{a} \end{matrix}

Mit der #Produktregel für Gradienten, #Produktregel für Divergenzen und #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

\begin{matrix} g r a d (f g) = & g r a d (f) g + f g r a d (g) \\ \to \int_{v} g r a d (f) g d v = & \int_{a} f g d \vec{a} - \int_{v} f g r a d (g) d v \end{matrix}

Klassischer Integralsatz von Stokes

Kompatibilitätsbedingungen:

Gegeben:

Fläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $d \vec{a}$
Berandungskurve $b$ der Fläche $a$ mit Linienelement $d \vec{b}$
Ortsvektoren $\vec{x} \in a$

Vektorwertige Funktion $\vec{f} (\vec{x}, t)$ :

\int_{a} r o t (\vec{f}) \cdot d \vec{a} = \oint_{b} \vec{f} \cdot d \vec{b}

Mit der #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

\begin{matrix} r o t (f \vec{g}) = & g r a d (f) \times \vec{g} + f r o t (\vec{g}) \\ \to \int_{a} (g r a d (f) \times \vec{g}) \cdot d \vec{a} = & \oint_{b} f \vec{g} \cdot d \vec{b} - \int_{a} f r o t (\vec{g}) \cdot d \vec{a} \end{matrix}

Reynoldscher Transportsatz

Vorlage:Siehe auch Gegeben:

Zeit $t$
Zeitabhängiges Volumen $v$ mit Volumenform $d v$ mit
Oberfläche des Volumes $a$ und äußerem vektoriellem Oberflächenelement $d \vec{a}$
Ortsvektoren $\vec{x} \in v$
Geschwindigkeitsfeld: $\vec{v} (\vec{x}, t)$
Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit $f (\vec{x}, t)$ , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
Die Integrale Größe für das Volumen: $\int_{v} \vec{f} (\vec{x}, t) d v$

Skalare Funktion $f (\vec{x}, t)$ :

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \int_{v} f d v & = & \int_{v} \frac{\partial f}{\partial t} d v + \int_{a} f (\vec{v} \cdot d \vec{a}) = \int_{v} (\frac{\partial f}{\partial t} + d i v (f \vec{v})) d v \\ = & \int_{v} (\frac{\partial f}{\partial t} + g r a d (f) \cdot \vec{v} + d i v (\vec{v}) f) d v = \int_{v} (\dot{f} + d i v (\vec{v}) f) d v \end{matrix}

Vektorwertige Funktion $\vec{f} (\vec{x}, t)$ :

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \int_{v} \vec{f} d v & = & \int_{v} \frac{\partial \vec{f}}{\partial t} d v + \int_{a} \vec{f} (\vec{v} \cdot d \vec{a}) = \int_{v} (\frac{\partial \vec{f}}{\partial t} + d i v (\vec{v} \otimes \vec{f})) d v \\ = & \int_{v} (\frac{\partial \vec{f}}{\partial t} + g r a d (\vec{f}) \cdot \vec{v} + d i v (\vec{v}) \vec{f}) d v = \int_{v} (\dot{\vec{f}} + d i v (\vec{v}) \vec{f}) d v \end{matrix}

Transportsatz für Flächenintegrale

Gegeben:

Zeit $t$
Ortsvektoren $\vec{x} \in v$
Geschwindigkeitsfeld: $\vec{v} (\vec{x}, t)$
Zeitabhängige Fläche $a : [0, 1]^{2} \mapsto v$ , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement $d \vec{a}$ im Volumen v integriert wird
Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße $f (\vec{x}, t)$ , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
Die Integrale Größe auf der Fläche: $\int_{a} f (\vec{x}, t) \cdot d \vec{a}$

Skalare Funktion $f (\vec{x}, t)$ :

\frac{d}{d t} \int_{a} f d \vec{a} = \int_{a} [\dot{f} 𝟏 + f div (\vec{v}) 𝟏 - f grad (\vec{v})^{⊤}] \cdot d \vec{a}

Vektorwertige Funktion $\vec{f} (\vec{x}, t)$ :

\frac{d}{d t} \int_{a} \vec{f} \cdot d \vec{a} = \int_{a} [\dot{\vec{f}} + \vec{f} div (\vec{v}) - grad (\vec{v}) \cdot \vec{f}] \cdot d \vec{a}

Transportsatz für Kurvenintegrale

Gegeben:

Zeit $t$
Ortsvektoren $\vec{x} \in v$
Geschwindigkeitsfeld: $\vec{v} (\vec{x}, t)$
Zeitabhängige Kurve $b : [0, 1) \mapsto v$ , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement $d \vec{b}$ im Volumen v integriert wird
Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße $f (\vec{x}, t)$ , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
Die Integrale Größe entlang des Weges: $\int_{b} f (\vec{x}, t) \cdot d \vec{b}$

Skalare Funktion $f (\vec{x}, t)$ :

\frac{d}{d t} \oint_{b} f d \vec{b} = \oint_{b} (\dot{f} 𝟏 + f g r a d \vec{v}) \cdot d \vec{b}

Vektorwertige Funktion $\vec{f} (\vec{x}, t)$ :

\frac{d}{d t} \oint_{b} \vec{f} \cdot d \vec{b} = \oint_{b} (\dot{\vec{f}} + \vec{f} \cdot g r a d \vec{v}) \cdot d \vec{b}

Kontinuumsmechanik

Kleine Deformationen

Ingenieursdehnungen:

ε = ε_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}

\begin{matrix} r o t (r o t (ε)) = \nabla \times (\nabla \times ε)^{⊤} & = & 𝟎 \\ ↓ \\ 2 ε_{12, 12} - ε_{22, 11} - ε_{11, 22} & = & 0 \\ 2 ε_{13, 13} - ε_{33, 11} - ε_{11, 33} & = & 0 \\ 2 ε_{23, 23} - ε_{33, 22} - ε_{22, 33} & = & 0 \\ ε_{11, 23} + ε_{23, 11} - ε_{12, 13} - ε_{13, 12} & = & 0 \\ ε_{22, 13} + ε_{13, 22} - ε_{12, 23} - ε_{23, 12} & = & 0 \\ ε_{12, 33} + ε_{33, 12} - ε_{13, 23} - ε_{23, 13} & = & 0 \end{matrix}

Starrkörperbewegung

Orthogonaler Tensor $𝐐$ beschreibt die Drehung.

Ω : = \dot{𝐐} \cdot 𝐐^{⊤} = {(𝐐 \cdot {\dot{𝐐}}^{⊤})}^{⊤} = - 𝐐 \cdot {\dot{𝐐}}^{⊤}

Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor $\vec{ω}$ des schiefsymmetrischen Tensors $Ω$ ist die Winkelgeschwindigkeit:

Ω \cdot \vec{r} = \vec{ω} \times \vec{r} \forall \vec{r}

Starrkörperbewegung mit $\vec{r} = c o n s t .$ :

\vec{x} = \vec{f} + 𝐐 \cdot \vec{r} \to \vec{r} = 𝐐^{⊤} \cdot (\vec{x} - \vec{f})

\vec{v} = \dot{\vec{f}} + \dot{𝐐} \cdot \vec{r} = \dot{\vec{f}} + \dot{𝐐} \cdot 𝐐^{⊤} \cdot (\vec{x} - \vec{f}) = \dot{\vec{f}} + Ω \cdot (\vec{x} - \vec{f}) = \dot{\vec{f}} + \vec{ω} \times (\vec{x} - \vec{f})

Ableitungen der Invarianten

\frac{\partial I_{1} (𝐓)}{\partial 𝐓} = \frac{\partial S p (𝐓)}{\partial 𝐓} = 𝟏

\frac{\partial I_{2} (𝐓)}{\partial 𝐓} = I_{1} (𝐓) 𝟏 - 𝐓^{⊤}

\frac{\partial I_{3} (𝐓)}{\partial 𝐓} = \frac{\partial d e t (𝐓)}{\partial 𝐓} = d e t (𝐓) 𝐓^{⊤ - 1} = c o f (𝐓) = 𝐓^{⊤} \cdot 𝐓^{⊤} - I_{1} (𝐓) 𝐓^{⊤} + I_{2} (𝐓) 𝟏

mit der transponiert inversen T^⊤-1 und dem Kofaktor cof(T) des Tensors T.

Funktion $f$ der Invarianten:

\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial 𝐓} (I_{1} (𝐓), I_{2} (𝐓), I_{3} (𝐓)) = & (\frac{\partial f}{\partial I_{1}} + I_{1} \frac{\partial f}{\partial I_{2}} + I_{2} \frac{\partial f}{\partial I_{3}}) 𝟏 - (\frac{\partial f}{\partial I_{2}} + I_{1} \frac{\partial f}{\partial I_{3}}) 𝐓^{⊤} \\ + \frac{\partial f}{\partial I_{3}} 𝐓^{⊤} \cdot 𝐓^{⊤} \end{matrix}

Ableitung der Frobenius-Norm:

\frac{\partial ∥ 𝐓 ∥}{\partial 𝐓} = \frac{𝐓}{∥ 𝐓 ∥}

Eigenwerte (aus der impliziten Ableitung des charakteristischen Polynoms):

𝐓 \cdot \vec{v} = λ \vec{v} \to d e t (𝐓 - λ 𝟏) = - λ^{3} + I_{1} λ^{2} - I_{2} λ + I_{3} = 0

→

\frac{d λ}{d 𝐓} = \frac{(λ^{2} - λ I_{1} + I_{2}) 𝟏 + (λ - I_{1}) 𝐓^{⊤} + 𝐓^{⊤} \cdot 𝐓^{⊤}}{3 λ^{2} - 2 I_{1} λ + I_{2}}

Eigenwerte symmetrischer Tensoren:

𝐓 \cdot \vec{v} = λ \vec{v} \to \frac{\partial λ}{\partial 𝐓} = \vec{v} \otimes \vec{v}

Eigenwerte von $𝐓 = \sum_{i = 1}^{3} λ_{i} {\vec{v}}_{i} \otimes {\vec{v}}^{i}$ , wo ${\vec{v}}^{i}$ dual zu den Eigenvektoren ${\vec{v}}_{i}$ sind $({\vec{v}}_{i} \cdot {\vec{v}}^{j} = δ_{i}^{j})$ :

\frac{\partial λ_{i}}{\partial 𝐓} = {\vec{v}}^{i} \otimes {\vec{v}}_{i}

(keine Summe)

Die Eigenwerte von $𝐓 = c {\vec{v}}_{1} \otimes {\vec{v}}^{1} + a ({\vec{v}}_{2} \otimes {\vec{v}}^{2} + {\vec{v}}_{3} \otimes {\vec{v}}^{3}) + b ({\vec{v}}_{2} \otimes {\vec{v}}^{3} - {\vec{v}}_{3} \otimes {\vec{v}}^{2})$ sind $λ_{1} = c, λ_{2} = a + i b, λ_{3} = a - i b$ mit den Eigenvektoren ${\vec{v}}_{1}, {\vec{w}}_{2} = {\vec{v}}_{2} + i {\vec{v}}_{3}, {\vec{w}}_{3} = {\vec{v}}_{2} - i {\vec{v}}_{3}$ . Hier ist:

\frac{\partial λ_{1}}{\partial 𝐓} = {\vec{v}}^{1} \otimes {\vec{v}}_{1}, \frac{\partial λ_{k}}{\partial 𝐓} = \frac{1}{2} \overline{{\vec{w}}^{k} \otimes {\vec{w}}_{k}}, k = 2, 3

(keine Summe)

mit ${\vec{w}}^{2} = {\vec{v}}^{2} + i {\vec{v}}^{3}, {\vec{w}}^{3} = {\vec{v}}^{2} - i {\vec{v}}^{3}$ und der Überstrich markiert den konjugiert komplexen Wert.

Konvektive Koordinaten

Konvektive Koordinaten $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in ℝ$

Kovariante Basisvektoren ${\vec{B}}_{i} = \frac{d \vec{X}}{d y_{i}}$ , ${\vec{b}}_{i} = \frac{d \vec{x}}{d y_{i}}$

Kontravariante Basisvektoren ${\vec{B}}^{i} = \frac{d y_{i}}{d \vec{X}} : = G R A D (y_{i})$ , ${\vec{b}}^{i} = \frac{d y_{i}}{d \vec{x}} : = g r a d (y_{i})$

{\vec{B}}_{i} \cdot {\vec{B}}^{j} = {\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{b}}^{j} = δ_{i}^{j}

Deformationsgradient $𝐅 = {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{B}}^{i}$

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $𝐥 = {\dot{\vec{b}}}_{i} \otimes {\vec{b}}^{i} = - {\vec{b}}_{i} \otimes {\dot{\vec{b}}}^{i}$

Kovarianter Tensor $𝐓 = T_{i j} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j}$

Kontravarianter Tensor $𝐓 = T^{i j} {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}$

Geschwindigkeitsgradient

Vorlage:Siehe auch Räumlicher Geschwindigkeitsgradient: $𝐥 = g r a d (\vec{v}) = \dot{𝐅} \cdot 𝐅^{- 1}$

Divergenz der Geschwindigkeit: $d i v (\vec{v}) = S p (𝐥)$

Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke ist der duale axiale Vektor

\vec{ω} = \overset{A}{\vec{𝐥}} = - \frac{1}{2} \vec{i} (𝐥) = \frac{1}{2} r o t (\vec{v})

\frac{D}{D t} d e t (𝐅) = d e t (𝐅) 𝐅^{⊤ - 1} : \dot{𝐅} = d e t (𝐅) S p (\dot{𝐅} \cdot 𝐅^{- 1}) = d e t (𝐅) d i v (\vec{v})

Objektive Zeitableitungen

Bezeichnungen wie in #Konvektive Koordinaten.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $𝐥 = {\dot{\vec{b}}}_{i} \otimes {\vec{b}}^{i} = - {\vec{b}}_{i} \otimes \dot{\vec{b}}^{i} = 𝐝 + 𝐰$

Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit $𝐝 = \frac{1}{2} (𝐥 + 𝐥^{⊤})$

Wirbel- oder Spintensor $𝐰 = \frac{1}{2} (𝐥 - 𝐥^{⊤})$

Objektive Zeitableitungen von Vektoren

Gegeben: $\vec{v} = v_{i} {\vec{b}}^{i} = v^{i} {\vec{b}}_{i}$ :

\begin{matrix} \overset{Δ}{\vec{v}} & = & \dot{\vec{v}} + 𝐥^{⊤} \cdot \vec{v} & = & {\dot{v}}_{i} {\vec{b}}^{i} \\ \overset{\nabla}{\vec{v}} & = & \dot{\vec{v}} - 𝐥 \cdot \vec{v} & = & {\dot{v}}^{i} {\vec{b}}_{i} \\ \overset{\circ}{\vec{v}} & = & \dot{\vec{v}} - 𝐰 \cdot \vec{v} \end{matrix}

Objektive Zeitableitungen von Tensoren

Gegeben: $𝐓 = T_{i j} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j} = T^{i j} {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}$

\begin{matrix} \overset{Δ}{𝐓} & = & \dot{𝐓} + 𝐓 \cdot 𝐥 + 𝐥^{⊤} \cdot 𝐓 & = & {\dot{T}}_{i j} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j} \\ \overset{\nabla}{𝐓} & = & \dot{𝐓} - 𝐥 \cdot 𝐓 - {𝐓 \cdot 𝐥}^{⊤} & = & {\dot{T}}^{i j} {\vec{b}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j} \\ \overset{\circ}{𝐓} & = & \dot{𝐓} + 𝐓 \cdot 𝐰 - 𝐰 \cdot 𝐓 \\ \overset{⋄}{𝐓} & = & \dot{𝐓} + S p (𝐥) 𝐓 - 𝐥 \cdot 𝐓 - {𝐓 \cdot 𝐥}^{⊤} \end{matrix}

Materielle Zeitableitung