Formelsammlung Tensoralgebra

δ_{i j} = δ^{i j} = δ_{i}^{j} = δ_{j}^{i} = {\begin{matrix} 1 & f a l l s i = j \\ 0 & s o n s t \end{matrix}

Für Summen gilt dann z. B.

v_{i} δ_{i j} = v_{j}

A_{i j} δ_{i j} = A_{i i}

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol

ϵ_{i j k} = {\hat{e}}_{i} \cdot ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) = {\begin{matrix} 1 & falls (i, j, k) \in {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} \\ - 1 & falls (i, j, k) \in {(1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)} \\ 0 & sonst, d.h. bei doppeltem Index \end{matrix}

ϵ_{i j k} ϵ_{l m n} = | \begin{matrix} δ_{i l} & δ_{j l} & δ_{k l} \\ δ_{i m} & δ_{j m} & δ_{k m} \\ δ_{i n} & δ_{j n} & δ_{k n} \end{matrix} |

ϵ_{i j k} ϵ_{k l m} = δ_{i l} δ_{j m} - δ_{i m} δ_{j l}

ϵ_{i j k} ϵ_{j k l} = 2 δ_{i l}

ϵ_{i j k} ϵ_{i j k} = 6

Kreuzprodukt:

a_{i} {\hat{e}}_{i} \times b_{j} {\hat{e}}_{j} = ϵ_{i j k} a_{i} b_{j} {\hat{e}}_{k} = ϵ_{i j k} a_{j} b_{k} {\hat{e}}_{i} = ϵ_{i j k} a_{k} b_{i} {\hat{e}}_{j}

ϵ_{i j k} {\hat{e}}_{k} = {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j}

Spaltenvektoren und Matrizen

Vorlage:Siehe auch Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

\vec{a} = a_{i} {\hat{e}}_{i} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

Drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ können spaltenweise in einer 3×3-Matrix $M$ arrangiert werden:

M = (\begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix})

Die Determinante der Matrix

| M | = | \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} |

ist

ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet $| \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} | > 0$ , dass die Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

M^{⊤} M = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

worin $M^{⊤}$ die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich $| M | = + 1$ .

Vektoralgebra

Basis und Duale Basis

Vorlage:Siehe auch Basisvektoren ${\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3}$

Duale Basisvektoren ${\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3}$

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

{\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}^{j} = δ_{i}^{j}

{\vec{g}}^{1} = \frac{{\vec{g}}_{2} \times {\vec{g}}_{3}}{({\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3})}, g^{2} = \frac{{\vec{g}}_{3} \times {\vec{g}}_{1}}{({\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3})}, g^{3} = \frac{{\vec{g}}_{1} \times {\vec{g}}_{2}}{({\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3})}

{\vec{g}}_{1} = \frac{{\vec{g}}^{2} \times {\vec{g}}^{3}}{({\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3})}, g_{2} = \frac{{\vec{g}}^{3} \times {\vec{g}}^{1}}{({\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3})}, g_{3} = \frac{{\vec{g}}^{1} \times {\vec{g}}^{2}}{({\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3})}

mit dem Spatprodukt

(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) : = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = | \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} |

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen $()^{⊤ - 1}$ :

(\begin{matrix} {\vec{g}}^{1} & {\vec{g}}^{2} & {\vec{g}}^{3} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} {\vec{g}}_{1} & {\vec{g}}_{2} & {\vec{g}}_{3} \end{matrix})}^{⊤ - 1}

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren ${\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2}, {\hat{e}}_{3}$ zu sich selbst dual:

{\hat{e}}_{i} = {\hat{e}}^{i}

Berechnung von Vektorkomponenten

\vec{v} = v_{i} {\hat{e}}_{i} \to v_{i} = \vec{v} \cdot {\hat{e}}_{i}

\vec{v} = v^{i} {\vec{g}}_{i} \to v^{i} = \vec{v} \cdot {\vec{g}}^{i}

\vec{v} = v_{i} {\vec{g}}^{i} \to v_{i} = \vec{v} \cdot {\vec{g}}_{i}

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren

({\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{k}) ({\vec{g}}^{k} \cdot {\vec{g}}^{j}) = {\vec{g}}_{i} \cdot ({\vec{g}}^{j} \cdot {\vec{g}}^{k}) {\vec{g}}_{k} = {\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}^{j} = δ_{i}^{j}

Wechsel der Basis bei Vektoren

Vorlage:Siehe auch Wechsel von

Basis ${\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3}$

nach

Basis ${\vec{h}}^{1}, {\vec{h}}^{2}, {\vec{h}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec{h}}_{1}, {\vec{h}}_{2}, {\vec{h}}_{3}$ :

\vec{v} = v_{i} {\vec{g}}^{i} = v_{i}^{*} {\vec{h}}^{i} \to v_{i}^{*} = ({\vec{h}}_{i} \cdot {\vec{g}}^{j}) v_{j}

Matrizengleichung:

\begin{matrix} (\begin{matrix} v_{1}^{*} \\ v_{2}^{*} \\ v_{3}^{*} \end{matrix}) = & (\begin{matrix} {\vec{h}}_{1} \cdot {\vec{g}}^{1} & {\vec{h}}_{1} \cdot {\vec{g}}^{2} & {\vec{h}}_{1} \cdot {\vec{g}}^{3} \\ {\vec{h}}_{2} \cdot {\vec{g}}^{1} & {\vec{h}}_{2} \cdot {\vec{g}}^{2} & {\vec{h}}_{2} \cdot {\vec{g}}^{3} \\ {\vec{h}}_{3} \cdot {\vec{g}}^{1} & {\vec{h}}_{3} \cdot {\vec{g}}^{2} & {\vec{h}}_{3} \cdot {\vec{g}}^{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) \\ = & {(\begin{matrix} {\vec{h}}_{1} & {\vec{h}}_{2} & {\vec{h}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} (\begin{matrix} {\vec{g}}^{1} & {\vec{g}}^{2} & {\vec{g}}^{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Dyadisches Produkt

Vorlage:Siehe auch Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung $𝕍 \times 𝕍 \to ℒ$

\vec{a} \otimes \vec{g} = 𝐓 \in ℒ

Multiplikation mit einem Skalar:

x (\vec{a} \otimes \vec{g}) = (x \vec{a}) \otimes \vec{g} = \vec{a} \otimes (x \vec{g}) = x \vec{a} \otimes \vec{g}

Distributivität:

(x + y) \vec{a} \otimes \vec{g} = x \vec{a} \otimes \vec{g} + y \vec{a} \otimes \vec{g}

(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{g} = \vec{a} \otimes \vec{g} + \vec{b} \otimes \vec{g}

\vec{a} \otimes (\vec{g} + \vec{h}) = \vec{a} \otimes \vec{g} + \vec{a} \otimes \vec{h}

Skalarprodukt:

(\vec{a} \otimes \vec{g}) : (\vec{b} \otimes \vec{h}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{g} \cdot \vec{h})

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird $ℒ$ zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von $ℒ$ dargestellt werden:

𝐀 \in ℒ \to 𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}

mit Komponenten

A_{i j}, A^{i j} \in ℝ

.

Die Dyaden ${{\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} | i, j = 1, 2, 3}$ und ${{\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} | i, j = 1, 2, 3}$ bilden Basissysteme von $ℒ$ .

Operatoren

Transposition

Vorlage:Siehe auch Abbildung $ℒ \to ℒ$

(\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤} : = \vec{g} \otimes \vec{a}

(A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j})^{⊤} = A_{i j} ({\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{i}) = A_{j i} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j})

(A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j})^{⊤} = A^{i j} ({\vec{g}}_{j} \otimes {\vec{a}}_{i}) = A^{j i} ({\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{a}}_{j})

{(𝐀^{⊤})}^{⊤} = 𝐀

(𝐀 + 𝐁)^{⊤} = 𝐀^{⊤} + 𝐁^{⊤}

(𝐀 \cdot 𝐁)^{⊤} = 𝐁^{⊤} \cdot 𝐀^{⊤}

Vektortransformation

Abbildung $ℒ \times 𝕍 \to 𝕍$ oder $𝕍 \times ℒ \to 𝕍$

Dyaden:

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot \vec{h} : = (\vec{g} \cdot \vec{h}) \vec{a}

\vec{b} \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g}) : = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{g}

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot \vec{h} = \vec{h} \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤}

\vec{b} \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g}) = (\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤} \cdot \vec{b}

Allgemeine Tensoren:

A_{i j} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \cdot \vec{v} = A_{i j} (\vec{v} \cdot {\hat{e}}_{j}) {\hat{e}}_{i}

A^{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) \cdot \vec{v} = A^{i j} (\vec{v} \cdot {\vec{g}}_{j}) {\vec{a}}_{i}

\vec{v} \cdot A_{i j} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{i j} (\vec{v} \cdot {\hat{e}}_{i}) {\hat{e}}_{j}

\vec{v} \cdot A^{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) = A^{i j} (\vec{v} \cdot {\hat{a}}_{i}) {\vec{g}}_{j}

Symbolisch:

𝐀 \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot 𝐀^{⊤}

\vec{v} \cdot 𝐀 = 𝐀^{⊤} \cdot \vec{v}

Tensorprodukt

Vorlage:Siehe auch Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℒ$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot (\vec{h} \otimes \vec{u}) : = (\vec{g} \cdot \vec{h}) \vec{a} \otimes \vec{u}

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot 𝐀 = \vec{a} \otimes (\vec{g} \cdot 𝐀) = \vec{a} \otimes \vec{g} \cdot 𝐀 = \vec{a} \otimes (𝐀^{⊤} \cdot \vec{g})

𝐀 \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g}) = (𝐀 \cdot \vec{a}) \otimes \vec{g} = 𝐀 \cdot \vec{a} \otimes \vec{g}

(A_{i k} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{k}) \cdot (B_{l j} {\hat{e}}_{l} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{i k} B_{k j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}

(A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) \cdot (B^{k l} {\vec{h}}_{k} \otimes {\vec{u}}_{l}) = A^{i j} ({\vec{g}}_{j} \cdot {\vec{h}}_{k}) B^{k l} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{u}}_{l}

Skalarprodukt von Tensoren

Vorlage:Siehe auch Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℝ$

Definition über die #Spur:

(\vec{a} \otimes \vec{g}) : (\vec{b} \otimes \vec{h}) : = S p ((\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤} \cdot (\vec{b} \otimes \vec{h})) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{g} \cdot \vec{h})

𝐀 : 𝐁 : = S p (𝐀^{⊤} \cdot 𝐁)

Eigenschaften:

𝐀 : 𝐁 = 𝐁 : 𝐀 = 𝐀^{⊤} : 𝐁^{⊤} = 𝐁^{⊤} : 𝐀^{⊤}

𝐀^{⊤} : 𝐁 = 𝐀 : 𝐁^{⊤}

𝐀 : (𝐁 \cdot 𝐂) = (𝐁^{⊤} \cdot 𝐀) : 𝐂 = ({𝐀 \cdot 𝐂}^{⊤}) : 𝐁

(𝐀 \cdot 𝐁) : 𝐂 = 𝐁 : (𝐀^{⊤} \cdot 𝐂) = 𝐀 : ({𝐂 \cdot 𝐁}^{⊤})

(\vec{u} \otimes \vec{v}) : 𝐀 = \vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v}

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor

Abbildung $𝕍 \times ℒ \to ℒ$ oder $ℒ \times 𝕍 \to ℒ$

Dyaden:

\vec{a} \times (\vec{b} \otimes \vec{g}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \otimes \vec{g} = \vec{a} \times \vec{b} \otimes \vec{g}

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \times \vec{h} = \vec{a} \otimes (\vec{g} \times \vec{h}) = \vec{a} \otimes \vec{g} \times \vec{h}

\vec{a} \times \vec{b} \otimes \vec{g} = - [(\vec{b} \otimes \vec{g})^{⊤} \times \vec{a}]^{⊤}

\vec{a} \otimes \vec{g} \times \vec{h} = - [\vec{h} \times (\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤}]^{⊤}

a_{j} {\hat{e}}_{j} \times (A_{k l} {\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{l}) = a_{j} A_{k l} ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) \otimes {\hat{e}}_{l} = ϵ_{i j k} a_{j} A_{k l} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{l}

(A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \times a_{k} {\hat{e}}_{k} = A_{i j} a_{k} {\hat{e}}_{i} \otimes ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) = ϵ_{j k l} A_{i j} a_{k} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{l}

Allgemeine Tensoren:

(\vec{a} \times 𝐀) \cdot \vec{g} : = \vec{a} \times (𝐀 \cdot \vec{g}) = \vec{a} \times (\vec{g} \cdot 𝐀^{⊤})

\vec{b} \cdot (\vec{a} \times 𝐀) : = (\vec{b} \times \vec{a}) \cdot 𝐀

\vec{g} \cdot (𝐀 \times \vec{a}) : = (\vec{g} \cdot 𝐀) \times \vec{a} = (𝐀^{⊤} \cdot \vec{g}) \times \vec{a}

(𝐀 \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 𝐀 \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

\vec{a} \times 𝐀 = - {(𝐀^{⊤} \times \vec{a})}^{⊤}

𝐀 \times \vec{a} = - {(\vec{a} \times 𝐀^{⊤})}^{⊤}

Symmetrische Tensoren: $\vec{a} \times 𝐀^{S} = - {(𝐀^{S} \times \vec{a})}^{⊤}$

Insbesondere Kugeltensoren: $\vec{a} \times 𝐀^{K} = 𝐀^{K} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times 𝐀^{K})^{⊤}$

Schiefsymmetrische Tensoren: $\vec{a} \times 𝐀^{A} = {(𝐀^{A} \times \vec{a})}^{⊤}$

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

(\vec{a} \times 𝟏) \cdot \vec{g} = \vec{a} \cdot (\vec{g} \times 𝟏) = \vec{a} \cdot (𝟏 \times \vec{g}) = \vec{a} \times \vec{g}

Mehrfach:

(\vec{a} \times (\vec{b} \times 𝐀)) \cdot \vec{g} = \vec{a} \times (\vec{b} \times (𝐀 \cdot \vec{g})) = (\vec{a} \cdot 𝐀 \cdot \vec{g}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) 𝐀 \cdot \vec{g}

\vec{a} \times (\vec{b} \times 𝐀) = \vec{b} \otimes \vec{a} \cdot 𝐀 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) 𝐀

Meistens ist aber:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \times \vec{g} \neq 𝐀 \cdot (\vec{a} \times \vec{g}) = (𝐀 \times \vec{a}) \cdot \vec{g}

\vec{a} \times (\vec{g} \cdot 𝐀) \neq (\vec{a} \times \vec{g}) \cdot 𝐀 = \vec{a} \cdot (\vec{g} \times 𝐀)

Kreuzprodukt von Tensoren

Abbildung $ℒ \times ℒ \to 𝕍$

𝐀 \times 𝐁 = \overset{3}{𝐄} : ({𝐀 \cdot 𝐁}^{⊤}) = - \overset{3}{𝐄} : ({𝐁 \cdot 𝐀}^{⊤}) = - 𝐁 \times 𝐀 \in 𝕍

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe $\overset{3}{𝐄}$ .

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \times (\vec{b} \otimes \vec{h}) = (\vec{g} \cdot \vec{h}) \vec{a} \times \vec{b}

\begin{matrix} A_{i k} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{k}) \times [B_{j l} ({\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{l})] = A_{i k} B_{j k} ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j}) = \dots \\ \dots = (\begin{matrix} A_{21} B_{31} - A_{31} B_{21} + A_{22} B_{32} - A_{32} B_{22} + A_{23} B_{33} - A_{33} B_{23} \\ A_{31} B_{11} - A_{11} B_{31} + A_{32} B_{12} - A_{12} B_{32} + A_{33} B_{13} - A_{13} B_{33} \\ A_{11} B_{21} - A_{21} B_{11} + A_{12} B_{22} - A_{22} B_{12} + A_{13} B_{23} - A_{23} B_{13} \end{matrix}) \end{matrix}

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

𝐀 \times 𝐁 = - 2 \overset{A}{\vec{{𝐀 \cdot 𝐁}^{⊤}}} = \vec{i} ({𝐀 \cdot 𝐁}^{⊤})

Mit #Einheitstensor:

𝟏 \times 𝐀 = 2 \overset{A}{\vec{𝐀}} = - \vec{i} (𝐀)

Mehrfachprodukte:

(𝐀 \cdot 𝐁) \times 𝐂 = 𝐀 \times ({𝐂 \cdot 𝐁}^{⊤})

𝐀 \times (𝐁 \cdot 𝐂) = ({𝐀 \cdot 𝐂}^{⊤}) \times 𝐁

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

𝐀 \times 𝐁 = 𝐀 \cdot \times (𝐁^{⊤})

Skalarkreuzprodukt von Tensoren

Abbildung $ℒ \times ℒ \to 𝕍$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot \times (\vec{h} \otimes \vec{u}) = - (\vec{u} \otimes \vec{h}) \cdot \times (\vec{g} \otimes \vec{a}) : = (\vec{g} \cdot \vec{h}) \vec{a} \times \vec{u}

\begin{matrix} A_{i k} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{k}) \cdot \times [B_{l j} ({\hat{e}}_{l} \otimes {\hat{e}}_{j})] = A_{i k} B_{k j} ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j}) = \dots \\ \dots = (\begin{matrix} A_{21} B_{13} - A_{31} B_{12} + A_{22} B_{23} - A_{32} B_{22} + A_{23} B_{33} - A_{33} B_{32} \\ A_{31} B_{11} - A_{11} B_{13} + A_{32} B_{21} - A_{12} B_{23} + A_{33} B_{31} - A_{13} B_{33} \\ A_{11} B_{12} - A_{21} B_{11} + A_{12} B_{22} - A_{22} B_{21} + A_{13} B_{32} - A_{23} B_{31} \end{matrix}) \end{matrix}

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

𝟏 \cdot \times (\vec{a} \otimes \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{b}

Allgemein:

𝐀 \cdot \times 𝐁 = - (𝐁^{⊤}) \cdot \times (𝐀^{⊤})

𝐀 \cdot \times (𝐁 \cdot 𝐂) = (𝐀 \cdot 𝐁) \cdot \times 𝐂

(𝐀 \cdot 𝐁) \cdot \times 𝐂 = 𝐀 \cdot \times (𝐁 \cdot 𝐂)

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

𝐒 \cdot \times 𝐓 = 𝐒 \times (𝐓^{⊤})

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

𝐀 \cdot \times 𝐁 = \vec{i} (𝐀 \cdot 𝐁) = - 2 \overset{A}{\vec{𝐀 \cdot 𝐁}}

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℒ$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \times \times (\vec{h} \otimes \vec{b}) : = (\vec{g} \times \vec{h}) \otimes (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{g} \otimes \vec{a}) # (\vec{h} \otimes \vec{b})

A_{i j} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \times \times [B_{k l} ({\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{l})] : = A_{i j} B_{k l} ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) \otimes ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{l})

𝐀 \times \times 𝐁 = 𝐀^{⊤} # 𝐁

Äußeres Tensorprodukt

Vorlage:Siehe auch Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℒ$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) # (\vec{b} \otimes \vec{h}) : = (\vec{a} \times \vec{b}) \otimes (\vec{g} \times \vec{h}) = (\vec{g} \otimes \vec{a}) \times \times (\vec{b} \otimes \vec{h})

\begin{matrix} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) # (B_{k l} {\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{l}) = A_{i j} B_{k l} ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{k}) \otimes ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{l}) \\ = ϵ_{i k m} ϵ_{j l n} A_{i j} B_{k l} {\hat{e}}_{m} \otimes {\hat{e}}_{n} \end{matrix}

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

\begin{matrix} 𝐀 # 𝐁 = & [S p (𝐀) S p (𝐁) - S p (𝐀 \cdot 𝐁)] 𝟏 \\ + [𝐀 \cdot 𝐁 + 𝐁 \cdot 𝐀 - S p (𝐀) 𝐁 - S p (𝐁) 𝐀]^{⊤} \end{matrix}

Grundlegende Eigenschaften:

𝐀 # 𝐁 = 𝐁 # 𝐀 = (𝐀^{⊤} # 𝐁^{⊤})^{⊤}

(𝐀 + 𝐁) # 𝐂 = 𝐀 # 𝐂 + 𝐁 # 𝐂

𝐀 # (𝐁 + 𝐂) = 𝐀 # 𝐁 + 𝐀 # 𝐂

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

(𝐀 # 𝐁) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (𝐀 \cdot \vec{u}) \times (𝐁 \cdot \vec{v}) - (𝐀 \cdot \vec{v}) \times (𝐁 \cdot \vec{u})

\frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = c o f (𝐀) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (𝐀 \cdot \vec{u}) \times (𝐀 \cdot \vec{v})

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

\frac{1}{2} (𝐀 # 𝟏) : 𝟏 = S p (𝐀)

\frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀) : 𝟏 = I_{2} (𝐀)

\frac{1}{6} (𝐀 # 𝐀) : 𝐀 = \det (𝐀)

Weitere Eigenschaften:

𝟏 # 𝟏 = 2 𝟏

𝐀 # 𝟏 = S p (𝐀) 𝟏 - 𝐀^{⊤}

(𝐀 # 𝐁) : 𝐂 = (𝐁 # 𝐂) : 𝐀 = (𝐂 # 𝐀) : 𝐁

S p (𝐀 # 𝐁) = S p (𝐀) S p (𝐁) - S p (𝐀 \cdot 𝐁)

(𝐀 # 𝐁) \cdot (𝐂 # 𝐃) = (𝐀 \cdot 𝐂) # (𝐁 \cdot 𝐃) + (𝐀 \cdot 𝐃) # (𝐁 \cdot 𝐂)

Aber meistens:

(𝐀 # 𝐁) # 𝐂 \neq 𝐀 # (𝐁 # 𝐂)

Vorlage:Siehe auch .

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren

𝐀 \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g}) = (𝐀 \cdot \vec{a}) \otimes \vec{g}

\vec{a} \otimes (𝐀 \cdot \vec{g}) = (\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot 𝐀^{⊤}

\vec{a} \cdot 𝐀 \cdot \vec{g} = 𝐀 : (\vec{a} \otimes \vec{g})

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \cdot [(𝐀 \cdot \vec{b}) \times (𝐀 \cdot \vec{c})] = d e t (𝐀) \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \times (𝐀 \cdot \vec{b}) = c o f (𝐀) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

𝐀^{⊤} \cdot [(𝐀 \cdot \vec{a}) \times (𝐀 \cdot \vec{b})] = d e t (𝐀) \vec{a} \times \vec{b}

(\vec{u} \times 𝟏) \cdot \vec{v} = (\vec{u} \otimes \vec{v}) \times 𝟏 = (\vec{u} \otimes \vec{v}) \cdot \times 𝟏 = \overset{A}{\vec{(\vec{u} \times \vec{v}) \times 𝟏}} = \vec{i} (\vec{u} \otimes \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{v}

Tensorkomponenten

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) \to A_{i j} = {\hat{e}}_{i} \cdot 𝐀 \cdot {\hat{e}}_{j}

𝐀 = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} \to A^{i j} = {\vec{a}}^{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}^{j} = ({\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j}) : 𝐀

𝐀 = A_{i j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j} \to A_{i j} = {\vec{a}}_{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}_{j}

𝐀 = A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}^{j} \to A_{j}^{i} = {\vec{a}}^{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}_{j}

𝐀 = A_{i}^{j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{g}}_{j} \to A_{i}^{j} = {\vec{a}}_{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}^{j}

Wechsel der Basis

𝐀 = A_{i j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{a}}^{j} = A_{i j}^{*} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j}

Die Komponenten $A_{i j}^{*}$ ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor $𝟏 = {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}_{i}$ :

\begin{matrix} 𝐀 = {𝟏 \cdot 𝐀 \cdot 𝟏}^{⊤} = & ({\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}_{i}) \cdot (A_{k l} {\vec{a}}^{k} \otimes {\vec{a}}^{l}) \cdot ({\vec{b}}_{j} \otimes {\vec{b}}^{j}) \\ = & ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) A_{k l} ({\vec{a}}^{l} \cdot {\vec{b}}_{j}) {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j} = : A_{i j}^{*} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j} \\ \to A_{i j}^{*} = & ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) A_{k l} ({\vec{a}}^{l} \cdot {\vec{b}}_{j}) \end{matrix}

Allgemein:

𝐀 = A_{i j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j} = A_{i j}^{*} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{h}}^{j}

Basiswechsel mit $𝟏 = ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{a}}_{k} = ({\vec{h}}_{j} \cdot {\vec{g}}^{l}) {\vec{h}}^{j} \otimes {\vec{g}}_{l}$ :

\begin{matrix} 𝐀 = {𝟏 \cdot 𝐀 \cdot 𝟏}^{⊤} = & ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) ({\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{a}}_{k}) \cdot A_{m n} ({\vec{a}}^{m} \otimes {\vec{g}}^{n}) \cdot ({\vec{h}}_{j} \cdot {\vec{g}}^{l}) ({\vec{g}}_{l} \otimes {\vec{h}}^{j}) \\ = & ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) A_{k l} ({\vec{h}}_{j} \cdot {\vec{g}}^{l}) ({\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{h}}^{j}) = A_{i j}^{*} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{h}}^{j} \\ \to A_{i j}^{*} = & ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) A_{k l} ({\vec{g}}^{l} \cdot {\vec{h}}_{j}) \end{matrix}

Bilinearform und Identität von Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition für einen Tensor A:

⟨ \vec{u}, \vec{v} ⟩ : = \vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = 𝐀 : (\vec{u} \otimes \vec{v})

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

\vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot 𝐁 \cdot \vec{v} \forall \vec{u}, \vec{v} \in 𝕍

Kofaktor

Vorlage:Siehe auch Definition

c o f (𝐀) : = 𝐀^{⊤} \cdot 𝐀^{⊤} - I_{1} (𝐀) 𝐀^{⊤} + I_{2} (𝐀) 𝟏

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₁λ₂, λ₂λ₃, λ₃λ₁.

I_{1} (c o f (𝐀)) = I_{2} (𝐀)

I_{2} (c o f (𝐀)) = I_{1} (𝐀) d e t (𝐀)

d e t (c o f (𝐀)) = {d e t}^{2} (𝐀)

‖ c o f (𝐀) ‖ = \sqrt{I_{2} (𝐀^{⊤} \cdot 𝐀)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{‖ 𝐀 ‖^{4} - ‖ 𝐀^{⊤} \cdot 𝐀 ‖^{2}}

Weitere Eigenschaften:

c o f (x 𝐀) = x^{2} c o f (𝐀)

d e t (𝐀) \neq 0 \to c o f (𝐀) = \det (𝐀) 𝐀^{⊤ - 1}

𝐀^{⊤} \cdot c o f (𝐀) = c o f (𝐀) \cdot 𝐀^{⊤} = d e t (𝐀) 𝟏

c o f (𝐀 \cdot 𝐁) = c o f (𝐀) \cdot c o f (𝐁)

c o f (𝐀^{⊤}) = c o f (𝐀)^{⊤}

c o f (c o f (𝐀)) = d e t (𝐀) 𝐀

\begin{matrix} c o f (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = \frac{1}{2} (A_{k l} A_{m n} ϵ_{k m i} ϵ_{l n j}) ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = \dots \\ \dots = (\begin{matrix} A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} & A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33} & A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31} \\ A_{32} A_{13} - A_{33} A_{12} & A_{33} A_{11} - A_{31} A_{13} & A_{31} A_{12} - A_{32} A_{11} \\ A_{12} A_{23} - A_{13} A_{22} & A_{13} A_{21} - A_{11} A_{23} & A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \end{matrix}) \end{matrix}

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

c o f (𝐀) = \frac{1}{2} 𝐀 # 𝐀

\begin{matrix} c o f (𝐀 + 𝐁) = & \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀 + 2 𝐀 # 𝐁 + 𝐁 # 𝐁) \\ = & c o f (𝐀) + c o f (𝐁) + 𝐀 # 𝐁 \end{matrix}

Kreuzprodukt und Kofaktor:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \times (𝐀 \cdot \vec{b}) = c o f (𝐀) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

Adjunkte

Vorlage:Siehe auch Definition:

a d j (𝐀) : = 𝐀^{2} - I_{1} (𝐀) 𝐀 + I_{2} (𝐀) 𝟏 = c o f (𝐀)^{⊤}

I_{1} (a d j (𝐀)) = I_{2} (𝐀)

I_{2} (a d j (𝐀)) = I_{1} (𝐀) d e t (𝐀)

d e t (a d j (𝐀)) = {d e t}^{2} (𝐀)

Satz von Cayley-Hamilton:

‖ a d j (𝐀) ‖ = \sqrt{I_{2} (𝐀^{⊤} \cdot 𝐀)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{‖ 𝐀 ‖^{4} - ‖ 𝐀^{⊤} \cdot 𝐀 ‖^{2}}

Weitere Eigenschaften:

a d j (x 𝐀) = x^{2} a d j (𝐀)

d e t (𝐀) \neq 0 \to a d j (𝐀) = \det (𝐀) 𝐀^{- 1}

𝐀 \cdot a d j (𝐀) = a d j (𝐀) \cdot 𝐀 = d e t (𝐀) 𝟏

a d j (𝐀 \cdot 𝐁) = a d j (𝐁) \cdot a d j (𝐀)

a d j (𝐀^{⊤}) = a d j (𝐀)^{⊤}

\begin{matrix} a d j (𝐀 + 𝐁) = & \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀 + 2 𝐀 # 𝐁 + 𝐁 # 𝐁)^{⊤} \\ = & a d j (𝐀) + a d j (𝐁) + 𝐀^{⊤} # 𝐁^{⊤} \end{matrix}

a d j (a d j (𝐀)) = d e t (𝐀) 𝐀

\begin{matrix} a d j (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = \frac{1}{2} (A_{k l} A_{m n} ϵ_{k m j} ϵ_{l n i}) ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = \dots \\ \dots = (\begin{matrix} A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} & A_{32} A_{13} - A_{33} A_{12} & A_{12} A_{23} - A_{13} A_{22} \\ A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33} & A_{33} A_{11} - A_{31} A_{13} & A_{13} A_{21} - A_{11} A_{23} \\ A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31} & A_{31} A_{12} - A_{32} A_{11} & A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \end{matrix}) \end{matrix}

Inverse

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀^{- 1} : 𝐀^{- 1} \cdot 𝐀 = {𝐀 \cdot 𝐀}^{- 1} = 𝟏

Die Inverse ist nur definiert, wenn $| 𝐀 | = d e t (𝐀) = I_{3} (𝐀) \neq 0$

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor $a d j (𝐀)$ :

𝐀^{- 1} = \frac{1}{\det (𝐀)} a d j (𝐀)

\begin{matrix} 𝐀 = & A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \\ \to 𝐀^{- 1} = & \frac{1}{| 𝐀 |} (\begin{matrix} A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} & A_{32} A_{13} - A_{33} A_{12} & A_{12} A_{23} - A_{13} A_{22} \\ A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33} & A_{33} A_{11} - A_{31} A_{13} & A_{13} A_{21} - A_{11} A_{23} \\ A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31} & A_{31} A_{12} - A_{32} A_{11} & A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \end{matrix}) \end{matrix}

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also $𝐀 = (\begin{matrix} {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{2} & {\vec{a}}_{3} \end{matrix})$ , dann gilt:

𝐀^{- 1} = {(\begin{matrix} {\vec{a}}^{1} & {\vec{a}}^{2} & {\vec{a}}^{3} \end{matrix})}^{⊤} = \frac{1}{d e t (𝐀)} {(\begin{matrix} {\vec{a}}_{2} \times {\vec{a}}_{3} & {\vec{a}}_{3} \times {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \end{matrix})}^{⊤}

𝐀^{- 1} = \frac{1}{I_{3} (𝐀)} (𝐀^{2} - I_{1} (𝐀) 𝐀 + I_{2} (𝐀) 𝟏)

worin $I_{1, 2, 3}$ die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

(𝐀^{⊤})^{- 1} = (𝐀^{- 1})^{⊤} = 𝐀^{⊤ - 1} = 𝐀^{- ⊤}

Inverse eines Tensorprodukts:

(𝐀 \cdot 𝐁)^{- 1} = 𝐁^{- 1} \cdot 𝐀^{- 1}

(x 𝐀)^{- 1} = \frac{1}{x} 𝐀^{- 1}

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

(𝐀 + 𝐁)^{- 1} = \frac{1}{\det (𝐀 + 𝐁)} (a d j (𝐀) + a d j (𝐁) + (𝐀 # 𝐁)^{⊤})

Invertierungsformeln:

(a 𝟏 + \vec{b} \otimes \vec{c})^{- 1} = \frac{1}{a} (𝟏 - \frac{1}{a + \vec{b} \cdot \vec{c}} \vec{b} \otimes \vec{c})

\begin{matrix} (a 𝟏 + \vec{b} \otimes \vec{c} + \vec{d} \otimes \vec{e})^{- 1} = \frac{1}{a D} (D 𝟏 + \vec{b} \otimes (q \vec{c} + r \vec{e}) + \vec{d} \otimes (s \vec{c} + t \vec{e})) \\ q = a + \vec{d} \cdot \vec{e}, r = - \vec{c} \cdot \vec{d}, s = - \vec{b} \cdot \vec{e}, t = a + \vec{b} \cdot \vec{c} \\ D = r s - q t \end{matrix}

({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{i})^{- 1} = {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{a}}^{i}

Eigensystem

Eigenwertproblem

𝐀 \cdot \hat{v} = λ \hat{v}

mit Eigenwert $λ$ und Eigenvektor $\hat{v}$ . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte

Vorlage:Siehe auch Charakteristische Gleichung

d e t (𝐀 - λ_{i} 𝟏) = - λ_{i}^{3} + I_{1} (𝐀) λ_{i}^{2} - I_{2} (𝐀) λ_{i} + I_{3} (𝐀) = 0

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

I_{1} (𝐀) : = S p (𝐀) = λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}

I_{2} (𝐀) : = \frac{1}{2} [I_{1} (𝐀)^{2} - I_{1} (𝐀^{2})] = λ_{1} λ_{2} + λ_{2} λ_{3} + λ_{3} λ_{1}

I_{3} (𝐀) : = d e t (𝐀) = λ_{1} λ_{2} λ_{3}

Eigenvektoren

Eigenvektoren $\vec{v}$ sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung: $(𝐀 - λ 𝟏) \cdot \vec{v} = \vec{0}$

Tensor $𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}$ :

(\begin{matrix} A_{11} - λ & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} - λ & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} - λ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem $v_{1}$ :

(\begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} - λ & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} - λ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = v_{1} (\begin{matrix} λ - A_{11} \\ - A_{21} \\ - A_{31} \end{matrix})

Geometrische Vielfachheit 1:

v_{2} = v_{1} \frac{(λ - A_{33}) A_{21} + A_{23} A_{31}}{(A_{22} - λ) (A_{33} - λ) - A_{23} A_{32}}

v_{3} = v_{1} \frac{(λ - A_{22}) A_{31} + A_{32} A_{21}}{(A_{22} - λ) (A_{33} - λ) - A_{23} A_{32}}

Geometrische Vielfachheit 2:

(\begin{matrix} A_{13} \\ A_{23} \\ A_{33} - λ \end{matrix}) v_{3} = - v_{1} (\begin{matrix} A_{11} - λ \\ A_{21} \\ A_{31} \end{matrix}) - v_{2} (\begin{matrix} A_{12} \\ A_{22} - λ \\ A_{32} \end{matrix})

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} zyklisch vertauscht werden.

Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten $v_{i j}$ der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren ${\vec{v}}_{i}$ des (komplexen) Tensors $A \in ℂ^{n \times n}$ gilt mit dessen Eigenwerten $λ_{i}$ und den Eigenwerten $μ_{j k}$ der Hauptuntermatrizen von $A$ :^[1]

| v_{i j} |^{2} \prod_{k = 1; k \neq i}^{n} (λ_{i} - λ_{k}) = \prod_{k = 1}^{n - 1} (λ_{i} - μ_{j k})

Eigensystem symmetrischer Tensoren

Sei $𝐀 = 𝐀^{⊤}$ symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten $λ_{i}$ und Eigenvektoren ${\hat{a}}_{i}$ des symmetrischen Tensors A:

\begin{matrix} 𝐀 = & \sum_{i = 1}^{3} λ_{i} {\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{a}}_{i} = ({\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{i}) \cdot (\sum_{j = 1}^{3} λ_{j} {\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{j}) \cdot ({\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{a}}_{k}) \\ = & (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} \end{matrix}

bzw.

{(\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} \cdot 𝐀 \cdot (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix})

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren

Sei $𝐀 = - 𝐀^{⊤}$ schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von A ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante $\vec{i} (𝐀)$ ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren

Sei $a, b, c \in ℝ$ und ${\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3} \in ℝ^{3}$ eine Basis und ${\vec{a}}^{1}, {\vec{a}}^{2}, {\vec{a}}^{3}$ die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte

Der Tensor

𝐓 = a {\vec{a}}_{1} \otimes {\vec{a}}^{1} + b {\vec{a}}_{2} \otimes {\vec{a}}^{2} + c {\vec{a}}_{3} \otimes {\vec{a}}^{3}

hat die Eigenwerte

λ_{1} = a, λ_{2} = b, λ_{3} = c

und Eigenvektoren

{\vec{v}}_{1} = {\vec{a}}_{1}, {\vec{v}}_{2} = {\vec{a}}_{2}, {\vec{v}}_{3} = {\vec{a}}_{3}

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren

{\vec{v}}_{1} = {\vec{a}}^{1}, {\vec{v}}_{2} = {\vec{a}}^{2}, {\vec{v}}_{3} = {\vec{a}}^{3}

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

Der Tensor

𝐓 = c {\vec{a}}_{1} \otimes {\vec{a}}^{1} + a ({\vec{a}}_{2} \otimes {\vec{a}}^{2} + {\vec{a}}_{3} \otimes {\vec{a}}^{3}) + b ({\vec{a}}_{2} \otimes {\vec{a}}^{3} - {\vec{a}}_{3} \otimes {\vec{a}}^{2})

hat die Eigenwerte

λ_{1} = c, λ_{2} = a + i b, λ_{3} = a - i b

und Eigenvektoren

{\vec{v}}_{1} = {\vec{a}}_{1}, {\vec{v}}_{2} = {\vec{a}}_{2} + i {\vec{a}}_{3}, {\vec{v}}_{3} = {\vec{a}}_{2} - i {\vec{a}}_{3}

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren

{\vec{v}}_{1} = {\vec{a}}^{1}, {\vec{v}}_{2} = {\vec{a}}^{2} - i {\vec{a}}^{3}, {\vec{v}}_{3} = {\vec{a}}^{2} + i {\vec{a}}^{3}

Invarianten

Eigenwerte des Tensors

Die #Eigenwerte $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ sind Invarianten.

Hauptinvarianten

Satz von Cayley-Hamilton:

#Spur:	I₁(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante:	I₂(A)
#Determinante:	I₃(A), det(A), │A│

Charakteristisches Polynom

Vorlage:Siehe auch Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:

d e t (𝐀 - x 𝟏) = - x^{3} + S p (𝐀) x^{2} - I_{2} (𝐀) x + d e t (𝐀)

Spezialfall:

d e t (\vec{b} \otimes \vec{c} + a 𝟏) = a^{2} (a + \vec{b} \cdot \vec{c})

- 𝐀^{3} + S p (𝐀) 𝐀^{2} - I_{2} (𝐀) 𝐀 + d e t (𝐀) 𝟏 = 𝟎

Spur

Abbildung $ℒ \to ℝ$

S p (𝐀) = I_{1} (𝐀) = \frac{1}{2} (𝐀 # 𝟏) : 𝟏 = λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

S p (\vec{a} \otimes \vec{g}) = S p (\vec{g} \otimes \vec{a}) : = \vec{a} \cdot \vec{g}

Linearität: $x, y \in ℝ \to S p (x 𝐀 + y 𝐁) = x S p (𝐀) + y S p (𝐁)$

S p (𝐀) = S p (𝐀^{⊤})

S p (𝐀 \cdot 𝐁) = S p (𝐁 \cdot 𝐀)

S p (𝐀^{⊤} \cdot 𝐁) = S p (𝐀 \cdot 𝐁^{⊤})

S p (𝐀 \cdot 𝐁 \cdot 𝐂) = S p (𝐁 \cdot 𝐂 \cdot 𝐀) = S p (𝐂 \cdot 𝐀 \cdot 𝐁)

In Komponenten:

S p (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{i i} = A_{11} + A_{22} + A_{33}

S p (A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}) = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{b}}_{j}

S p (A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{a}}^{j}) = S p (A_{i}^{j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{a}}_{j}) = A_{i}^{i}

Zweite Hauptinvariante

Abbildung $ℒ \to ℝ$

I_{2} (𝐀) : = \frac{1}{2} [S p (𝐀)^{2} - S p (𝐀^{2})] = \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀) : 𝟏 = λ_{1} λ_{2} + λ_{2} λ_{3} + λ_{3} λ_{1}

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

I_{2} (𝐀) = S p (c o f (𝐀)) = S p (a d j (𝐀))

I_{2} (x 𝐀) = x^{2} I_{2} (𝐀)

I_{2} (𝐀^{⊤}) = I_{2} (𝐀)

I_{2} (𝐀 \cdot 𝐁) = I_{2} (𝐁 \cdot 𝐀)

I_{2} (𝐀 \cdot 𝐁 \cdot 𝐂) = I_{2} (𝐁 \cdot 𝐂 \cdot 𝐀) = I_{2} (𝐂 \cdot 𝐀 \cdot 𝐁)

I_{2} (𝐀 + 𝐁) = I_{2} (𝐀) + I_{2} (𝐁) + S p (𝐀) S p (𝐁) - S p (𝐀 \cdot 𝐁)

In Komponenten:

I_{2} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} - A_{12} A_{21} - A_{13} A_{31} - A_{23} A_{32}

I_{2} (A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}) = \frac{1}{2} A^{i j} A^{k l} [({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{b}}_{j}) ({\vec{a}}_{k} \cdot {\vec{b}}_{l}) - ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{b}}_{l}) ({\vec{a}}_{k} \cdot {\vec{b}}_{j})]

I_{2} (A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{a}}^{j}) = \frac{1}{2} (A_{i}^{i} A_{j}^{j} - A_{j}^{i} A_{i}^{j})

Determinante

Vorlage:Siehe auch Abbildung $ℒ \to ℝ$

I_{3} (𝐀) : = d e t (𝐀) = \frac{1}{6} (𝐀 # 𝐀) : 𝐀 = λ_{1} λ_{2} λ_{3}

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

d e t (𝐀^{⊤}) = d e t (𝐀)

Determinantenproduktsatz:

d e t (𝐀 \cdot 𝐁) = d e t (𝐁 \cdot 𝐀) = d e t (𝐀) d e t (𝐁)

d e t (𝐀 \cdot 𝐁 \cdot 𝐂) = d e t (𝐁 \cdot 𝐂 \cdot 𝐀) = d e t (𝐂 \cdot 𝐀 \cdot 𝐁) = d e t (𝐀) d e t (𝐁) d e t (𝐂)

d e t (𝐀^{- 1}) = \frac{1}{d e t (𝐀)}

Multiplikation mit Skalaren $x \in ℝ$ :

| \begin{matrix} x \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \vec{a} & x \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & x \vec{c} \end{matrix} | = x | \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} |

d e t (x 𝐀) = x^{3} d e t (𝐀)

In Komponenten:

\begin{matrix} d e t (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = & | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix} | \\ = & A_{11} (A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32}) + A_{12} (A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33}) \\ + A_{13} (A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31}) \end{matrix}

\begin{matrix} d e t (A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) = & | \begin{matrix} A^{11} & A^{12} & A^{13} \\ A^{21} & A^{22} & A^{23} \\ A^{31} & A^{32} & A^{33} \end{matrix} | | \begin{matrix} {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{2} & {\vec{a}}_{3} \end{matrix} | | \begin{matrix} {\vec{g}}_{1} & {\vec{g}}_{2} & {\vec{g}}_{3} \end{matrix} | \end{matrix}

\det (A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{a}}^{j}) = | \begin{matrix} A_{1}^{1} & A_{2}^{1} & A_{3}^{1} \\ A_{1}^{2} & A_{2}^{2} & A_{3}^{2} \\ A_{1}^{3} & A_{2}^{3} & A_{3}^{3} \end{matrix} |

Zusammenhang mit den anderen Hauptinvarianten:

\begin{matrix} d e t (𝐀) = & \frac{1}{6} [S p (𝐀)^{3} - 3 S p (𝐀) S p (𝐀^{2}) + 2 S p (𝐀^{3})] \\ = & \frac{1}{3} [S p (𝐀^{3}) + 3 S p (𝐀) I_{2} (𝐀) - S p (𝐀)^{3}] \end{matrix}

Zusammenhang mit dem Spatprodukt:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \cdot [(𝐀 \cdot \vec{b}) \times (𝐀 \cdot \vec{c})] = d e t (𝐀) \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

Zusammenhang mit #Äußeres Tensorprodukt:

\det (𝐀) = \frac{1}{6} (𝐀 # 𝐀) : 𝐀

\begin{matrix} \to \det (𝐀 + 𝐁) = & \det (𝐀) + \det (𝐁) + S p (𝐀) I_{2} (𝐁) + I_{2} (𝐀) S p (𝐁) \\ + S p (𝐀 \cdot 𝐁 \cdot (𝐀 + 𝐁)) - S p (𝐀 \cdot 𝐁) S p (𝐀 + 𝐁) \end{matrix}

Zusammenhang mit dem #Kofaktor:

\det (𝐀 + 𝐁) = \det (𝐀) + c o f (𝐀) : 𝐁 + 𝐀 : c o f (𝐁) + \det (𝐁)

Betrag

Vorlage:Siehe auch Abbildung $ℒ \to ℝ$

∥ 𝐀 ∥ : = \sqrt{𝐀 : 𝐀} = \sqrt{S p (𝐀^{⊤} \cdot 𝐀)}

∥ \vec{a} \otimes \vec{g} ∥ = | \vec{a} | | \vec{g} |

∥ A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{A_{i j} A_{i j}}

∥ A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} ∥ = \sqrt{A^{i j} A^{k l} ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{a}}_{k}) ({\vec{g}}_{j} \cdot {\vec{g}}_{l})}

∥ A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{a}}^{j} ∥ = \sqrt{A_{j}^{i} A_{l}^{k} ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{a}}_{k}) ({\vec{a}}^{j} \cdot {\vec{a}}^{l})}

Falls $𝐀 = 𝐀^{⊤}$ :

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{{S p}^{2} (𝐀) - 2 I_{2} (𝐀)} = \sqrt{S p (𝐀^{2})} = \sqrt{λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2}}

Falls $𝐀 = - 𝐀^{⊤}$ :

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{2 I_{2} (𝐀)} = \sqrt{- S p (𝐀^{2})}

Dualer axialer Vektor

Für #Schiefsymmetrische Tensoren $𝐀 = - 𝐀^{⊤} = 𝐀^{A}$ gibt es einen dualen axialen Vektor $\overset{A}{\vec{𝐀}}$ für den gilt:

𝐀 \cdot \vec{v} = \overset{A}{\vec{𝐀}} \times \vec{v}

für alle

\vec{v} \in 𝕍

Der duale axiale Vektor ist proportional zur #Vektorinvariante:

\overset{A}{\vec{𝐀}} : = - \frac{1}{2} \vec{i} (𝐀)

Berechnung mit #Fundamentaltensor 3. Stufe $\overset{3}{𝐄}$ , #Kreuzprodukt von Tensoren oder #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

\overset{A}{\vec{𝐀}} = - \frac{1}{2} \overset{3}{𝐄} : 𝐀 = - \frac{1}{2} 𝐀 \times 𝟏 = - \frac{1}{2} 𝐀 \cdot \times 𝟏

\overset{A}{\vec{A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}}} = - \frac{1}{2} A_{i j} {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} A_{32} - A_{23} \\ A_{13} - A_{31} \\ A_{21} - A_{12} \end{matrix})

\overset{A}{\vec{A^{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j})}} = - \frac{1}{2} A^{i j} {\vec{a}}_{i} \times {\vec{b}}_{j}

#Symmetrische Tensoren und #Kugeltensoren haben keinen dualen axialen Vektor: $\overset{A}{\vec{𝐀^{S}}} = \overset{A}{\vec{𝐀^{K}}} = \vec{0}$

Ein #Symmetrischer Anteil oder #Kugelanteil trägt nichts zum dualen axialen Vektor bei: $\overset{A}{\vec{𝐀}} = \overset{A}{\vec{𝐀^{D}}} = \overset{A}{\vec{𝐀^{A}}}$

Seien x eine beliebige Zahl, $\vec{u}, \vec{v}$ beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

\overset{A}{\vec{\vec{u} \otimes \vec{v}}} = \frac{1}{2} \vec{v} \times \vec{u}

\overset{A}{\vec{𝐀}} \times \vec{v} = 𝐀^{A} \cdot \vec{v}

\overset{A}{\vec{𝐀^{⊤}}} = - \overset{A}{\vec{𝐀}}

\overset{A}{\vec{𝐀 + 𝐁}} = \overset{A}{\vec{𝐀}} + \overset{A}{\vec{𝐁}}

\overset{A}{\vec{x 𝐀}} = x \overset{A}{\vec{𝐀}}

\overset{A}{\vec{𝐀 # 𝐁}} = 𝐀 \cdot \overset{A}{\vec{𝐁}} + 𝐁 \cdot \overset{A}{\vec{𝐀}}

𝐀 \cdot \overset{A}{\vec{𝐀}} = 𝐀^{⊤} \cdot \overset{A}{\vec{𝐀}} = \overset{A}{\vec{𝐀}} \cdot 𝐀

\overset{A}{\vec{c o f (𝐀)}} = 𝐀 \cdot \overset{A}{\vec{𝐀}}

\overset{A}{\vec{𝐀^{- 1}}} = - \frac{1}{d e t (𝐀)} 𝐀 \cdot \overset{A}{\vec{𝐀}} falls d e t (𝐀) \neq 0

\overset{A}{\vec{\vec{v} \times 𝐀}} = \frac{1}{2} (S p (𝐀) 𝟏 - 𝐀) \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (𝐀^{⊤} # 𝟏) \cdot \vec{v}

\overset{A}{\vec{\vec{v} \times 𝟏}} = \vec{v}

\overset{A}{\vec{(\vec{u} \times \vec{v}) \times 𝐀}} = \frac{1}{2} (\vec{u} \cdot 𝐀 \times \vec{v} - \vec{v} \cdot 𝐀 \times \vec{u})

\overset{A}{\vec{{𝐁 \cdot 𝐀 \cdot 𝐁}^{⊤}}} = c o f (𝐁) \cdot \overset{A}{\vec{𝐀}}

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Vektorinvariante

\vec{i} (𝐀) : = 𝐀 \cdot \times 𝟏 = 𝐀 \times 𝟏 = \overset{3}{𝐄} : 𝐀 = - 2 \overset{A}{\vec{𝐀}}

\vec{i} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} A_{23} - A_{32} \\ A_{31} - A_{13} \\ A_{12} - A_{21} \end{matrix})

\vec{i} (A^{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j})) = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \times {\vec{b}}_{j}

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

𝐀 \cdot \times 𝐁 = \vec{i} (𝐀 \cdot 𝐁)

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante: $\vec{i} (𝐀^{S}) = \vec{0}$

Die Eigenschaften des dualen axialen Vektors sind hierher übertragbar. Seien x eine beliebige Zahl, $\vec{u}, \vec{v}$ beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

\vec{i} (\vec{u} \otimes \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{v}

\vec{i} (𝐀) \times \vec{v} = - 2 𝐀^{A} \cdot \vec{v} = (𝐀^{⊤} - 𝐀) \cdot \vec{v}

\vec{i} (𝐀^{⊤}) = - \vec{i} (𝐀)

\vec{i} (𝐀 + 𝐁) = \vec{i} (𝐀) + \vec{i} (𝐁)

\vec{i} (x 𝐀) = x \vec{i} (𝐀)

\vec{i} (𝐀 # 𝐁) = 𝐀 \cdot \vec{i} (𝐁) + 𝐁 \cdot \vec{i} (𝐀)

𝐀 \cdot \vec{i} (𝐀) = 𝐀^{⊤} \cdot \vec{i} (𝐀) = \vec{i} (𝐀) \cdot 𝐀

\vec{i} (c o f (𝐀)) = 𝐀 \cdot \vec{i} (𝐀)

\vec{i} (𝐀^{- 1}) = - \frac{1}{d e t (𝐀)} 𝐀 \cdot \vec{i} (𝐀) falls d e t (𝐀) \neq 0

\vec{i} (\vec{v} \times 𝐀) = (𝐀 - S p (𝐀) 𝟏) \cdot \vec{v} = - (𝐀^{⊤} # 𝟏) \cdot \vec{v}

\vec{i} (\vec{v} \times 𝟏) = - 2 \vec{v}

\vec{i} ((\vec{u} \times \vec{v}) \times 𝐀) = \vec{v} \cdot 𝐀 \times \vec{u} - \vec{u} \cdot 𝐀 \times \vec{v}

\vec{i} ({𝐁 \cdot 𝐀 \cdot 𝐁}^{⊤}) = c o f (𝐁) \cdot \vec{i} (𝐀)

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Spezielle Tensoren

Dyade

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀 : = \vec{a} \otimes \vec{b}

Kofaktor: $c o f (𝐀) = 𝟎$

S p (𝐀) = \vec{a} \cdot \vec{b}

I_{2} (𝐀) = 0

d e t (𝐀) = 0

∥ 𝐀 ∥ = | \vec{a} | | \vec{b} |

#Eigensystem:

\begin{matrix} λ_{1} = & \vec{a} \cdot \vec{b}, & {\vec{v}}_{1} = & \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} \\ λ_{2} = & 0, & {\vec{v}}_{2} = & \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{| \vec{a} \times \vec{b} |} \\ λ_{3} = & 0, & {\vec{v}}_{3} = & \frac{(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}}{| (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} |} \end{matrix}

Dyadentripel

Gegeben ein beliebiger Tensor 2. Stufe A. Dieser kann immer als Summe dreier Dyaden dargestellt werden:

\begin{matrix} 𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = & {\vec{s}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} {\vec{s}}_{1} & {\vec{s}}_{2} & {\vec{s}}_{3} \end{matrix}) \\ = & {\hat{e}}_{i} \otimes {\vec{z}}_{i} = {(\begin{matrix} {\vec{z}}_{1} & {\vec{z}}_{2} & {\vec{z}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} \\ = & {\vec{a}}_{k} \otimes {\vec{g}}_{k} \end{matrix}

mit Spaltenvektoren ${\vec{s}}_{j} = A_{i j} {\hat{e}}_{i} = 𝐀 \cdot {\hat{e}}_{j}$ , Zeilenvektoren ${\vec{z}}_{i} = A_{i j} {\hat{e}}_{j} = {\hat{e}}_{i} \cdot 𝐀$ und ${\vec{g}}_{k} = ({\vec{a}}^{k} \cdot {\hat{e}}_{i}) A_{i j} {\hat{e}}_{j} = {\vec{a}}^{k} \cdot 𝐀$ .

#Hauptinvarianten ( $x_{m, n} : = {\vec{x}}_{m} \cdot {\hat{e}}_{n}$ ):

I_{1} (𝐀) = s_{i, i} = z_{i, i} = {\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{i}

\begin{matrix} I_{2} (𝐀) = & \frac{1}{2} (s_{i, i} s_{j, j} - s_{i, j} s_{j, i}) = \frac{1}{2} (z_{i, i} z_{j, j} - z_{i, j} z_{j, i}) \\ = & \frac{1}{2} [({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{i}) ({\vec{a}}_{j} \cdot {\vec{g}}_{j}) - ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{j}) ({\vec{a}}_{j} \cdot {\vec{g}}_{i})] \end{matrix}

I_{3} (𝐀) = | \begin{matrix} {\vec{s}}_{1} & {\vec{s}}_{2} & {\vec{s}}_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} {\vec{z}}_{1} & {\vec{z}}_{2} & {\vec{z}}_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{2} & {\vec{a}}_{3} \end{matrix} | | \begin{matrix} {\vec{g}}_{1} & {\vec{g}}_{2} & {\vec{g}}_{3} \end{matrix} |

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{{\vec{s}}_{i} \cdot {\vec{s}}_{i}} = \sqrt{{\vec{z}}_{i} \cdot {\vec{z}}_{i}} = \sqrt{({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{a}}_{j}) ({\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{j})}

#Dualer axialer Vektor:

\overset{A}{\vec{𝐀}} = \frac{1}{2} {\hat{e}}_{i} \times {\vec{s}}_{i} = \frac{1}{2} {\vec{z}}_{i} \times {\hat{e}}_{i} = \frac{1}{2} {\vec{g}}_{i} \times {\vec{a}}_{i}

#Vektorinvariante:

\vec{i} (𝐀) = {\vec{s}}_{i} \times {\hat{e}}_{i} = {\hat{e}}_{i} \times {\vec{z}}_{i} = {\vec{a}}_{i} \times {\vec{g}}_{i}

#Kofaktor:

\begin{matrix} c o f (𝐀) = & {\vec{z}}_{i} \otimes {\vec{s}}_{i} - I_{1} (𝐀) 𝐀^{⊤} + I_{2} (𝐀) 𝟏 \\ = & ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{j}) {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{a}}_{j} - ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{i}) {\vec{g}}_{j} \otimes {\vec{a}}_{j} + I_{2} (𝐀) 𝟏 \end{matrix}

#Inverse:

𝐀^{- 1} = {\hat{e}}_{i} \otimes {\vec{s}}^{i} = {\vec{z}}^{i} \otimes {\hat{e}}_{i} = {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{a}}^{i}

Einheitstensor

𝟏 = {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{i} = δ_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

𝟏 = {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}^{i} = {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}_{i} = g^{i j} {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} = g_{i j} {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j}

mit $g_{i j} = {\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{j}, g^{i j} = {\vec{g}}^{i} \cdot {\vec{g}}^{j}$

Allgemein:

𝟏 = ({\vec{a}}^{i} \cdot {\vec{g}}^{j}) {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}

#Transposition und #Inverse:

𝟏 = 𝟏^{⊤} = 𝟏^{- 1} = 𝟏^{⊤ - 1}

Kofaktor: $c o f (𝟏) = 𝟏$

Vektortransformation

𝟏 \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot 𝟏 = \vec{v}

Tensorprodukt

𝐀 \cdot 𝟏 = 𝟏 \cdot 𝐀 = 𝐀

Skalarprodukt

𝐀 : 𝟏 = S p (𝐀)

S p (𝟏) = 𝟏 : 𝟏 = 3

I_{2} (𝟏) = 3

d e t (𝟏) = 1

∥ 𝟏 ∥ = \sqrt{3}

#Eigenwerte:

λ_{1, 2, 3} = 1

Alle Vektoren sind #Eigenvektoren.

Unimodulare Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐇 : d e t (𝐇) = 1

Kofaktor: $c o f (𝐇) = 𝐇^{⊤ - 1}$

Determinantenproduktsatz:

d e t (𝐀 \cdot 𝐇) = d e t (𝐇 \cdot 𝐀) = d e t (𝐀)

Orthogonale Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐐 : 𝐐^{- 1} = 𝐐^{⊤} oder {𝐐 \cdot 𝐐}^{⊤} = 𝐐^{⊤} \cdot 𝐐 = 𝟏

Kofaktor: $c o f (𝐐) = d e t (𝐐) 𝐐 = \pm 𝐐$

#Invarianten ( $α$ ist der Drehwinkel):

S p (𝐐) = d e t (𝐐) + 2 \cos (α)

I_{2} (𝐐) = d e t (𝐐) \cdot S p (𝐐) = 1 + 2 d e t (𝐐) \cos (α)

d e t (𝐐) = \pm 1

∥ 𝐐 ∥ = \sqrt{3}

Eigentlich orthogonaler Tensor $d e t (𝐐) = + 1$ , entspricht einer Drehung.

Uneigentlich orthogonaler Tensor $d e t (𝐐) = - 1$ , entspricht einer Drehspiegelung.

Spatprodukt:

(𝐐 \cdot \vec{a}) \cdot [(𝐐 \cdot \vec{b}) \times (𝐐 \cdot \vec{c})] = d e t (𝐐) \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

(𝐐 \cdot \vec{a}) \times (𝐐 \cdot \vec{b}) = d e t (𝐐) 𝐐 \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

c o f (𝐐) = d e t (𝐐) 𝐐

Gegeben ein Einheitsvektor $\hat{n} = {(\begin{matrix} n_{1} & n_{2} & n_{3} \end{matrix})}^{⊤}$ und Drehwinkel α. Dann sind die folgenden Tensoren R zueinander gleich, orthogonal und drehen um die Achse $\hat{n}$ mit Winkel α:

Rodrigues-Formel:

\begin{matrix} 𝐑 = & 𝟏 + s_{α} \hat{n} \times 𝟏 + d_{α} (\hat{n} \times 𝟏)^{2} \\ = & 𝟏 + s_{α} \hat{n} \times 𝟏 + d_{α} (\hat{n} \otimes \hat{n} - 𝟏) \end{matrix}

𝐑 = (\begin{matrix} c_{α} + d_{α} n_{1}^{2} & - s_{α} n_{3} + d_{α} n_{1} n_{2} & s_{α} n_{2} + d_{α} n_{1} n_{3} \\ s_{α} n_{3} + d_{α} n_{1} n_{2} & c_{α} + d_{α} n_{2}^{2} & - s_{α} n_{1} + d_{α} n_{2} n_{3} \\ - s_{α} n_{2} + d_{α} n_{1} n_{3} & s_{α} n_{1} + d_{α} n_{2} n_{3} & c_{α} + d_{α} n_{3}^{2} \end{matrix})

mit $c_{α} = \cos (α), d_{α} = 1 - \cos (α), s_{α} = \sin (α)$ .

Euler-Rodrigues-Formel: $a = \cos (\frac{α}{2}), b = \sin (\frac{α}{2}) n_{1}, c = \sin (\frac{α}{2}) n_{2}, d = \sin (\frac{α}{2}) n_{3}$ also $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ :

𝐑 : = (\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} & 2 (b c - a d) & 2 (b d + a c) \\ 2 (b c + a d) & a^{2} + c^{2} - b^{2} - d^{2} & 2 (c d - a b) \\ 2 (b d - a c) & 2 (c d + a b) & a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2} \end{matrix})

Formulierung mit Drehvektor:

Drehvektor		Orthogonaler Tensor
$\vec{α} = α \vec{n}$	→	$𝐑 = 𝟏 + \frac{\sin (α)}{α} \vec{α} \times 𝟏 + \frac{1 - \cos (α)}{α^{2}} (\vec{α} \times 𝟏)^{2}$
$\vec{α} = \tan (α) \vec{n}$	→	$𝐑 = 𝟏 + \cos (α) \vec{α} \times 𝟏 + \frac{\cos^{2} (α)}{1 + \cos (α)} (\vec{α} \times 𝟏)^{2}$
$\vec{α} = \tan (\frac{α}{2}) \vec{n}$	→	$𝐑 = 𝟏 + \frac{2}{1 + \vec{α} \cdot \vec{α}} (\vec{α} \times 𝟏 + (\vec{α} \times 𝟏)^{2})$
$\vec{α} = \sin (α) \vec{n}$	→	$𝐑 = 𝟏 + \vec{α} \times 𝟏 + \frac{1}{1 + \cos (α)} (\vec{α} \times 𝟏)^{2}$
$\vec{α} = \sin (\frac{α}{2}) \vec{n}$	→	$𝐑 = 𝟏 + 2 \cos (\frac{α}{2}) \vec{α} \times 𝟏 + 2 (\vec{α} \times 𝟏)^{2}$
$\vec{α} = \cos (α) \vec{n}$	→	$𝐑 = 𝟏 + \tan (α) \vec{α} \times 𝟏 + \frac{1 - \cos (α)}{\vec{α} \cdot \vec{α}} (\vec{α} \times 𝟏)^{2}$
$\vec{α} = \cos (\frac{α}{2}) \vec{n}$	→	$𝐑 = 𝟏 + 2 \sin (\frac{α}{2}) \vec{α} \times 𝟏 + 2 \frac{1 - \vec{α} \cdot \vec{α}}{\vec{α} \cdot \vec{α}} (\vec{α} \times 𝟏)^{2}$

Darin ist $(\vec{α} \times 𝟏)^{2} = (\vec{α} \times 𝟏) \cdot (\vec{α} \times 𝟏) = \vec{α} \otimes \vec{α} - (\vec{α} \cdot \vec{α}) 𝟏$

Beispiel für Drehspiegelung:

𝐐 = - 𝟏 + \sin (α) \hat{n} \times 𝟏 - (1 + \cos (α)) (\hat{n} \times 𝟏)^{2}

Drehung von Vektorraumbasis ${\vec{u}}_{1, 2, 3} nach {\vec{v}}_{1, 2, 3}$ mit Drehachse $\hat{n}$ :

𝐐 \cdot {\vec{u}}_{i} = {\vec{v}}_{i}, 𝐐 \cdot {\vec{u}}^{i} = {\vec{v}}^{i}, 𝐐 = {\vec{v}}_{i} \otimes {\vec{u}}^{i} = {\vec{v}}^{i} \otimes {\vec{u}}_{i}

\hat{n} ≃ {\vec{v}}_{i} \times {\vec{u}}^{i} = {\vec{v}}^{i} \times {\vec{u}}_{i} = - 2 \overset{A}{\vec{𝐐}} = \vec{i} (𝐐)

mit #Dualer axialer Vektor $\overset{A}{\vec{𝐐}}$ und #Vektorinvariante $\vec{i} (𝐐)$ .

Gegeben Orthonormalbasis ${\hat{v}}_{1, 2, 3}$ , Drehwinkel $α$ und ${\hat{v}}_{1}$ ist Drehachse:

\begin{matrix} 𝐐 = & \pm {\hat{v}}_{1} \otimes {\hat{v}}_{1} + \cos (α) ({\hat{v}}_{2} \otimes {\hat{v}}_{2} + {\hat{v}}_{3} \otimes {\hat{v}}_{3}) + \sin (α) ({\hat{v}}_{3} \otimes {\hat{v}}_{2} - {\hat{v}}_{2} \otimes {\hat{v}}_{3}) \\ = & {(\begin{matrix} \pm 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (α) & - \sin (α) \\ 0 & \sin (α) & \cos (α) \end{matrix})}_{{\hat{v}}_{i} \otimes {\hat{v}}_{j}} \end{matrix}

+ 1

: Drehung,

- 1

: Drehspiegelung um

{\hat{v}}_{1}

Wenn ${\hat{v}}_{1, 2, 3}$ ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

#Eigensystem:

\begin{matrix} λ_{1} = & d e t (𝐐), & {\vec{q}}_{1} = & {\hat{v}}_{1} \\ λ_{2} = & e^{i α}, & {\vec{q}}_{2} = & \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{v}}_{2} - i {\hat{v}}_{3}) . \\ λ_{3} = & e^{- i α}, & {\vec{q}}_{3} = & \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{v}}_{2} + i {\hat{v}}_{3}) \end{matrix}

Drehwinkel:

\cos (α) = \frac{1}{2} (S p (𝐐) - d e t (𝐐))

Drehachse $\hat{n}$ ist #Vektorinvariante:

\hat{n} ≃ \vec{i} (𝐐) = 𝟏 \cdot \times 𝐐

𝐐 = {\vec{s}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{i} = {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{z}}_{i} \to \hat{n} ≃ {\vec{s}}_{i} \times {\vec{e}}_{i} = {\vec{e}}_{i} \times {\vec{z}}_{i}

\frac{1}{2} (𝐐 - 𝐐^{⊤}) = \sin (α) \hat{n} \times 𝟏 = \sin (α) (\begin{matrix} 0 & - n_{3} & n_{2} \\ n_{3} & 0 & - n_{1} \\ - n_{2} & n_{1} & 0 \end{matrix}), | \hat{n} | = 1

Positiv definite Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀 : \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} > 0 \forall \vec{v} \in 𝕍 ∖ {\vec{0}}

Kofaktor: $c o f (𝐀) = 𝐀^{⊤} \cdot 𝐀^{⊤} - I_{1} (𝐀) 𝐀^{⊤} + I_{2} (𝐀) 𝟏 = \det (𝐀) 𝐀^{⊤ - 1}$

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

d e t (𝐀) > 0

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} \to A_{11}, A_{22}, A_{33} > 0

𝐀 = A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{a}}^{j} \to A_{1}^{1}, A_{2}^{2}, A_{3}^{3} > 0

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A sind größer als null.

Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0:

A·A^⊤ und A^⊤·A

Symmetrische Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀 : 𝐀 = 𝐀^{⊤}

Kofaktor: $c o f (𝐀) = a d j (𝐀) = 𝐀^{2} - S p (𝐀) 𝐀 + I_{2} (𝐀) 𝟏$

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{{S p}^{2} (𝐀) - 2 I_{2} (𝐀)} = \sqrt{S p (𝐀^{2})} = \sqrt{λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2}}

Bei Symmetrischen Tensoren verschwinden ihr #Dualer axialer Vektor und ihre #Vektorinvariante:

\overset{A}{\vec{𝐀^{S}}} = \vec{i} (𝐀^{S}) = \vec{0}

Bilinearform:

\vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{u} \forall \vec{u}, \vec{v} \in 𝕍

Alle #Eigenwerte λ_1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren ${\vec{a}}_{1, 2, 3}$ sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Hauptachsentransformation:

\begin{matrix} 𝐀 = & \sum_{i = 1}^{3} λ_{i} {\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{a}}_{i} = ({\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{i}) (\sum_{i = 1}^{3} λ_{j} {\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{j}) ({\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{a}}_{k}) \\ = & (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} \end{matrix}

Bezüglich der Standardbasis:

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{12} & A_{22} & A_{23} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix})

S p (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{11} + A_{22} + A_{33}

I_{2} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} - A_{12}^{2} - A_{13}^{2} - A_{23}^{2}

\begin{matrix} d e t (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = & A_{11} (A_{22} A_{33} - A_{23}^{2}) + A_{12} (A_{23} A_{13} - A_{12} A_{33}) \\ + A_{13} (A_{12} A_{23} - A_{13} A_{22}) \end{matrix}

∥ A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{A_{11}^{2} + A_{22}^{2} + A_{33}^{2} + 2 A_{12}^{2} + 2 A_{13}^{2} + 2 A_{23}^{2}}

Symmetrische und positiv definite Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀 : 𝐀 = 𝐀^{⊤} und \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} > 0 \forall \vec{v} \in 𝕍 ∖ {\vec{0}}

Kofaktor: $c o f (𝐀) = a d j (𝐀) = d e t (𝐀) 𝐀^{- 1} = 𝐀^{2} - S p (𝐀) 𝐀 + I_{2} (𝐀) 𝟏$

Mit den #Eigenwerten $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ , den #Eigenvektoren ${\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2}, {\hat{a}}_{3}$ und einer reellwertigen Funktion $f (x) \in ℝ$ eines reellen Argumentes $x \in ℝ$ definiert man über das #Eigensystem symmetrischer Tensoren

\begin{matrix} 𝐀 = & \sum_{i = 1}^{3} λ_{i} {\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{a}}_{i} \\ = & (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} \end{matrix}

den Funktionswert des Tensors:

\begin{matrix} f (𝐀) : = & \sum_{i = 1}^{3} f (λ_{i}) {\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{a}}_{i} \\ = & (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} f (λ_{1}) & 0 & 0 \\ 0 & f (λ_{2}) & 0 \\ 0 & 0 & f (λ_{3}) \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} \end{matrix}

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n³ alternative Tensoren.

Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:

Rechter Strecktensor

𝐔 = + \sqrt{𝐅^{⊤} \cdot 𝐅}

Linker Strecktensor

𝐯 = + \sqrt{{𝐅 \cdot 𝐅}^{⊤}}

Henky-Dehnung

𝐄_{H} : = \ln (𝐔) = \frac{1}{2} \ln (𝐅^{⊤} \cdot 𝐅)

Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe

Vorlage:Siehe auch Die Tensoren

\begin{matrix} 𝐒_{1} = & {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{1} \\ 𝐒_{2} = & {\vec{e}}_{2} \otimes {\vec{e}}_{2} \\ 𝐒_{3} = & {\vec{e}}_{3} \otimes {\vec{e}}_{3} \\ 𝐒_{4} = & {\vec{e}}_{2} \otimes {\vec{e}}_{3} + {\vec{e}}_{3} \otimes {\vec{e}}_{2} \\ 𝐒_{5} = & {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{3} + {\vec{e}}_{3} \otimes {\vec{e}}_{1} \\ 𝐒_{6} = & {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{2} + {\vec{e}}_{2} \otimes {\vec{e}}_{1} \end{matrix}

bilden eine Basis im Vektorraum $s y m (𝕍, 𝕍) \subset ℒ$ der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in Voigt'scher Notation dargestellt werden:

𝐀 \in s y m (𝕍, 𝕍) \to 𝐀 = A_{r} 𝐒_{r} \hat{=} [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4} \\ A_{5} \\ A_{6} \end{matrix}]

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss

𝐀 : 𝐁 = A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} + 2 A_{4} B_{4} + 2 A_{5} B_{5} + 2 A_{6} B_{6}

berücksichtigt werden. Siehe auch #Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe.

Schiefsymmetrische Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀 : 𝐀 = - 𝐀^{⊤}

Kofaktor: $c o f (𝐀) = a d j (𝐀) = 𝐀 \cdot 𝐀 + I_{2} (𝐀) 𝟏 = 𝐀 \cdot 𝐀 - \frac{1}{2} S p (𝐀^{2}) 𝟏$

S p (𝐀) = 0

I_{2} (𝐀) = - \frac{1}{2} S p (𝐀^{2})

d e t (𝐀) = 0

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{2 I_{2} (𝐀)} = \sqrt{- S p (𝐀^{2})}

In kartesischen Koordinaten:

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} 0 & A_{12} & A_{13} \\ - A_{12} & 0 & A_{23} \\ - A_{13} & - A_{23} & 0 \end{matrix})

S p (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = 0

I_{2} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{12}^{2} + A_{13}^{2} + A_{23}^{2}

d e t (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = 0

∥ A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{2} \sqrt{A_{12}^{2} + A_{13}^{2} + A_{23}^{2}}

Bilinearform:

\vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = - \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{u} \forall \vec{u}, \vec{v} \in 𝕍

\vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = 0 \forall \vec{v} \in 𝕍

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

#Dualer axialer Vektor:

\begin{matrix} 𝐀_{\times} : = \overset{A}{\vec{𝐀}} : = - \frac{1}{2} 𝟏 \times 𝐀^{⊤} = - \frac{1}{2} 𝟏 \cdot \times 𝐀 = - \frac{1}{2} \vec{i} (𝐀) \\ \to 𝐀 \cdot \vec{v} = \overset{A}{\vec{𝐀}} \times \vec{v} \forall \vec{v} \in 𝕍 \end{matrix}

mit #Vektorinvariante $\vec{i} (𝐀)$ . Der zum Eigenwert null gehörende #Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor $𝐀_{\times}$ denn

{𝐀 \cdot 𝐀}_{\times} = 𝐀_{\times} \times 𝐀_{\times} = \vec{0}

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} \to 𝐀_{\times} = - \frac{1}{2} A_{i j} {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} - A_{23} \\ A_{13} \\ - A_{12} \end{matrix})

𝐀 = A_{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j} - {\vec{b}}_{j} \otimes {\vec{a}}_{i}) \to 𝐀_{\times} = - A_{i j} {\vec{a}}_{i} \times {\vec{b}}_{j}

Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

Kreuzproduktmatrix $[\vec{u}]_{\times}$ eines Vektors $\vec{u}$ :

\begin{matrix} \vec{u} = u_{i} {\hat{e}}_{i} = & (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) \\ \to [\vec{u}]_{\times} = & \vec{u} \times 𝟏 = \vec{u} \times {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{i} = - \overset{3}{𝐄} \cdot \vec{u} = (\begin{matrix} 0 & - u_{3} & u_{2} \\ u_{3} & 0 & - u_{1} \\ - u_{2} & u_{1} & 0 \end{matrix}) \in ℒ \end{matrix}

Kofaktor: $c o f (\vec{u} \times 𝟏) = a d j (\vec{u} \times 𝟏) = \vec{u} \otimes \vec{u}$

S p = 0

I_{2} = \vec{u} \cdot \vec{u} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}

d e t = 0

‖ \vec{u} \times 𝟏 ‖ = \sqrt{2 \vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{2} \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}}

\overset{A}{\vec{\vec{u} \times 𝟏}} = \vec{u}

#Eigensystem:

\begin{matrix} λ_{1} = & 0, & {\vec{v}}_{1} = & \vec{u} \\ λ_{2, 3} = & \mp i | \vec{u} |, & {\vec{v}}_{2, 3} & ≃ & \frac{u_{1}}{| \vec{u} |} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) \pm i (\begin{matrix} \pm i | \vec{u} | \\ - u_{3} \\ u_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

Eigenschaften:

\vec{u} \times \vec{v} = (\vec{u} \times 𝟏) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times 𝟏)

\vec{u} \times 𝟏 = 𝟏 \times \vec{u}

(\vec{u} \times 𝟏)^{⊤} = - \vec{u} \times 𝟏

\vec{u} = - \frac{1}{2} 𝟏 \cdot \times (\vec{u} \times 𝟏) = - \frac{1}{2} (𝟏 \times \vec{u}) \times 𝟏 = \frac{1}{2} 𝟏 \times (\vec{u} \times 𝟏)

\vec{u} \times (\vec{v} \times 𝟏) = (\vec{u} \times 𝟏) \cdot (\vec{v} \times 𝟏) = \vec{v} \otimes \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) 𝟏

\vec{u} \times (\vec{v} \times 𝟏) \cdot \vec{w} = \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}

Potenzen von $[\vec{u}]_{\times} = \vec{u} \times 𝟏$

[\vec{u}]_{\times}^{2} = [\vec{u}]_{\times} \cdot [\vec{u}]_{\times} = \vec{u} \otimes \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{u}) 𝟏

[\vec{u}]_{\times}^{3} = - (\vec{u} \cdot \vec{u}) [\vec{u}]_{\times}

Deviatorische Tensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀 : S p (𝐀) = 0

Kofaktor: $c o f (𝐀) = {(𝐀^{2})}^{⊤} + I_{2} (𝐀) 𝟏 = {(𝐀^{2})}^{⊤} - \frac{1}{2} S p (𝐀^{2}) 𝟏$

S p (𝐀) : = 0

I_{2} (𝐀) = - \frac{1}{2} S p (𝐀^{2})

d e t (𝐀) = \frac{1}{3} S p (𝐀^{3})

Bezüglich der Standardbasis:

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & - A_{11} - A_{22} \end{matrix})

S p (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = 0

I_{2} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = - A_{11}^{2} - A_{22}^{2} - A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} - A_{13} A_{31} - A_{23} A_{32}

\begin{matrix} d e t (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = & - A_{11} (A_{11} A_{22} + A_{22}^{2} + A_{23} A_{32}) \\ + A_{12} (A_{23} A_{31} + A_{21} A_{11} + A_{21} A_{22}) \\ + A_{13} (A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31}) \end{matrix}

∥ A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{\begin{matrix} 2 A_{11}^{2} + 2 A_{22}^{2} + 2 A_{11} A_{22} + A_{12}^{2} + A_{21}^{2} + \dots \\ \dots + A_{13}^{2} + A_{31}^{2} + A_{23}^{2} + A_{32}^{2} \end{matrix}}

Kugeltensoren

Vorlage:Siehe auch Definition

𝐀 : 𝐀 = a 𝟏 = (\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{matrix})

Kofaktor: $c o f (𝐀) = a d j (𝐀) = a^{2} 𝟏$

S p (𝐀) = 3 a

I_{2} (𝐀) = 3 a^{2}

d e t (𝐀) = a^{3}

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{3} | a |

Dekompositionen eines Tensors

Gegeben ein beliebiger Tensor $𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}$

Symmetrischer Anteil

𝐀^{S} = s y m (𝐀) : = \frac{1}{2} (𝐀 + 𝐀^{⊤})

𝐀^{S} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 A_{11} & A_{12} + A_{21} & A_{13} + A_{31} \\ A_{12} + A_{21} & 2 A_{22} & A_{23} + A_{32} \\ A_{13} + A_{31} & A_{23} + A_{32} & 2 A_{33} \end{matrix})

S p (𝐀^{S}) = S p (𝐀) = A_{11} + A_{22} + A_{33}

\begin{matrix} I_{2} (𝐀^{S}) = & \frac{1}{2} I_{2} (𝐀) + \frac{1}{4} {S p}^{2} (𝐀) - \frac{1}{4} 𝐀 : 𝐀 \\ = & A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} \\ - \frac{1}{4} [(A_{12} + A_{21})^{2} + (A_{13} + A_{31})^{2} + (A_{23} + A_{32})^{2}] \end{matrix}

\begin{matrix} d e t (𝐀^{S}) = & \frac{1}{4} d e t (𝐀) + \frac{1}{4} 𝐀 : a d j (𝐀) \\ = & A_{11} A_{22} A_{33} + \frac{1}{4} (A_{12} + A_{21}) (A_{23} + A_{32}) (A_{13} + A_{31}) \\ - \frac{1}{4} [A_{11} (A_{23} + A_{32})^{2} + A_{22} (A_{13} + A_{31})^{2} + A_{33} (A_{12} + A_{21})^{2}] \end{matrix}

\begin{matrix} ∥ (𝐀^{S}) ∥ = & \sqrt{{𝐀 : 𝐀}^{S}} \\ = & \sqrt{A_{11}^{2} + A_{22}^{2} + A_{33}^{2} + \frac{1}{2} [(A_{12} + A_{21})^{2} + (A_{13} + A_{31})^{2} + (A_{23} + A_{32})^{2}]} \end{matrix}

Schiefsymmetrischer Anteil

𝐀^{A} = s k w (𝐀) : = \frac{1}{2} (𝐀 - 𝐀^{⊤})

𝐀^{A} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & A_{12} - A_{21} & A_{13} - A_{31} \\ A_{21} - A_{12} & 0 & A_{23} - A_{32} \\ A_{31} - A_{13} & A_{32} - A_{23} & 0 \end{matrix})

S p (𝐀^{A}) = 0

\begin{matrix} I_{2} (𝐀^{A}) = & \frac{1}{4} [𝐀 : 𝐀 - S p (𝐀^{2})] \\ = & \frac{1}{4} [(A_{12} - A_{21})^{2} + (A_{13} - A_{31})^{2} + (A_{23} - A_{32})^{2}] \end{matrix}

d e t (𝐀^{A}) = 0

∥ 𝐀^{A} ∥ = \sqrt{{𝐀 : 𝐀}^{A}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{(A_{12} - A_{21})^{2} + (A_{13} - A_{31})^{2} + (A_{32} - A_{23})^{2}}

Deviator

𝐀^{D} = d e v (𝐀) : = 𝐀 - \frac{1}{3} S p (𝐀) 𝟏

𝐀^{D} = (\begin{matrix} \frac{2 A_{11} - A_{22} - A_{33}}{3} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & \frac{2 A_{22} - A_{11} - A_{33}}{3} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & \frac{2 A_{33} - A_{11} - A_{22}}{3} \end{matrix})

S p (𝐀^{D}) = 0

\begin{matrix} I_{2} (𝐀^{D}) = & I_{2} (𝐀) - \frac{1}{3} {S p}^{2} (𝐀) = \frac{1}{6} {S p}^{2} (𝐀) - \frac{1}{2} S p (𝐀^{2}) \\ = & \frac{1}{3} (A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} - A_{11}^{2} - A_{22}^{2} - A_{33}^{2}) \\ - A_{12} A_{21} - A_{13} A_{31} - A_{23} A_{32} \end{matrix}

\begin{matrix} d e t (𝐀^{D}) = & d e t (𝐀) + \frac{2}{27} {S p}^{3} (𝐀) - \frac{1}{3} S p (𝐀) I_{2} (𝐀) \\ = & \frac{1}{27} [12 A_{11} A_{22} A_{33} + 2 (A_{11}^{3} + A_{22}^{3} + A_{33}^{3}) \dots \\ \dots - 3 A_{11}^{2} (A_{22} + A_{33}) - 3 A_{22}^{2} (A_{11} + A_{33}) - 3 A_{33}^{2} (A_{11} + A_{22})] \\ - \frac{1}{3} [(2 A_{11} - A_{22} - A_{33}) A_{23} A_{32} + (2 A_{22} - A_{11} - A_{33}) A_{13} A_{31} + \dots \\ \dots + (2 A_{33} - A_{11} - A_{22}) A_{12} A_{21}] \\ + A_{13} A_{32} A_{21} + A_{12} A_{23} A_{31} \end{matrix}

∥ 𝐀^{D} ∥ = \sqrt{\begin{matrix} \frac{2}{3} (A_{11}^{2} + A_{22}^{2} + A_{33}^{2} - A_{11} A_{22} - A_{11} A_{33} - A_{22} A_{33}) + \dots \\ \dots + A_{12}^{2} + A_{21}^{2} + A_{13}^{2} + A_{31}^{2} + A_{23}^{2} + A_{32}^{2} \end{matrix}}

Kugelanteil

𝐀^{K} = s p h (𝐀) : = \frac{1}{3} S p (𝐀) 𝟏

𝐀^{K} = \frac{1}{3} (A_{11} + A_{22} + A_{33}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

S p (𝐀^{K}) = S p (𝐀) = A_{11} + A_{22} + A_{33}

I_{2} (𝐀^{K}) = \frac{1}{3} {S p}^{2} (𝐀) = \frac{1}{3} (A_{11} + A_{22} + A_{33})^{2}

d e t (𝐀^{K}) = \frac{1}{27} {S p}^{3} (𝐀) = \frac{1}{27} (A_{11} + A_{22} + A_{33})^{3}

∥ 𝐀^{K} ∥ = \frac{1}{\sqrt{3}} | S p (𝐀) | = \frac{1}{\sqrt{3}} | A_{11} + A_{22} + A_{33} |

Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors

𝐀 = 𝐀^{S} + 𝐀^{A} = 𝐀^{D} + 𝐀^{K}

Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:

𝐀^{S} : 𝐁^{A} = 0

Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:

𝐀^{D} : 𝐁^{K} = 0

Polarzerlegung

Für jeden Tensor F mit #Determinante ≠ 0 gibt es #Orthogonale Tensoren Q und #Symmetrische und positiv definite Tensoren U in eindeutiger Weise, sodass

F = Q·U

Im Fall des Deformationsgradienten ist U der rechte Strecktensor, siehe #Symmetrische und positiv definite Tensoren. Der Anteil U berechnet sich wie dort angegeben aus

𝐔 = + \sqrt{𝐅^{⊤} \cdot 𝐅}

Dann ist U·U = F^⊤·F und

𝐐 = {𝐅 \cdot 𝐔}^{- 1}

Bei det(F)=0 ergeben sich U sowie Q aus der Singulärwertzerlegung von F und U ist nur noch symmetrisch positiv semidefinit.

Projektionen

Punkt auf Gerade

Gegeben sei die Gerade durch den Punkt $\vec{x}$ mit Richtungsvektor $\vec{g}$ und ein beliebiger anderer Punkt $\vec{p}$ .

Dann ist

\begin{matrix} \vec{p} = & \vec{x} + \vec{a} + \vec{b} mit \vec{a} ‖ \vec{g} und \vec{b} ⊥ \vec{g} \\ 𝐆 = & \frac{\vec{g} \otimes \vec{g}}{\vec{g} \cdot \vec{g}} \to 𝐆 \cdot \vec{g} = \vec{g}, (𝟏 - 𝐆) \cdot \vec{g} = \vec{0} \\ \vec{n} \cdot \vec{g} = 0 \to 𝐆 \cdot \vec{n} = \vec{0}, (𝟏 - 𝐆) \cdot \vec{n} = \vec{n} \\ \vec{a} = & 𝐆 \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = \frac{\vec{g} \cdot (\vec{p} - \vec{x})}{\vec{g} \cdot \vec{g}} \vec{g} \\ \vec{b} = & (𝟏 - 𝐆) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = \vec{p} - \vec{x} - \vec{a} \end{matrix}

Der Punkt $\vec{x} + \vec{a}$ ist die senkrechte Projektion von $\vec{p}$ auf die Gerade. Der Tensor G extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von $\vec{g}$ und 1-G den Anteil senkrecht dazu.

Punkt oder Gerade auf Ebene

Gegeben sei die Ebene durch den Punkt $\vec{x}$ und zwei die Ebene aufspannende Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v} ‖ \vec{u}$ sowie ein beliebiger anderer Punkt $\vec{p}$ . Dann verschwindet die Normale

\hat{n} = \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{| \vec{u} \times \vec{v} |}

nicht. Dann ist

\begin{matrix} \vec{p} = & \vec{x} + \vec{a} + \vec{b} mit \vec{a} ⊥ \hat{n} und \vec{b} ‖ \hat{n} \\ 𝐏 = & \frac{(\vec{v} \cdot \vec{v}) \vec{u} \otimes \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) (\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{v} \otimes \vec{u}) + (\vec{u} \cdot \vec{u}) \vec{v} \otimes \vec{v}}{(\vec{u} \cdot \vec{u}) (\vec{v} \cdot \vec{v}) - (\vec{u} \cdot \vec{v})^{2}} = 𝟏 - \hat{n} \otimes \hat{n} \\ \to 𝐏 \cdot \vec{u} = \vec{u}, 𝐏 \cdot \vec{v} = \vec{v}, 𝐏 \cdot \hat{n} = \vec{0}, (𝟏 - 𝐏) \cdot \hat{n} = \hat{n} \\ \to 𝐏 \cdot (x \vec{u} + y \vec{v}) = x \vec{u} + y \vec{v} und (𝟏 - 𝐏) \cdot (x \vec{u} + y \vec{v}) = \vec{0} \forall x, y \in ℝ \\ \vec{a} = & 𝐏 \cdot (\vec{p} - \vec{x}) \\ \vec{b} = & (𝟏 - 𝐏) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = \vec{p} - \vec{x} - \vec{a} \end{matrix}

Der Punkt $\vec{x} + \vec{a}$ ist die senkrechte Projektion von $\vec{p}$ auf die Ebene.^[2] Der Tensor P extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und 1-P den Anteil senkrecht dazu.

Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte $\vec{x}$ und $\vec{p}$ verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors $\vec{a}$ .

Falls $| \vec{u} | = | \vec{v} | = 1$ und $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ folgt:

\hat{n} = \vec{u} \times \vec{v} mit | \hat{n} | = 1

𝐏 = \vec{u} \otimes \vec{u} + \vec{v} \otimes \vec{v} = 𝟏 - \hat{n} \otimes \hat{n}

\vec{a} = (\vec{u} \otimes \vec{u} + \vec{v} \otimes \vec{v}) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = (𝟏 - \hat{n} \otimes \hat{n}) \cdot (\vec{p} - \vec{x})

\vec{b} = (𝟏 - \vec{u} \otimes \vec{u} - \vec{v} \otimes \vec{v}) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = (\hat{n} \otimes \hat{n}) \cdot (\vec{p} - \vec{x})

Fundamentaltensor 3. Stufe