Satz von Paley-Wiener

Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen.

Einführung

Ist $f:{ℝ}^n\to ℝ$ eine integrierbare Funktion, so kann man bekanntlich die Fourier-Transformierte

$\hat{f}(\xi ):=(2\pi {)}^{-n/2}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}\mathrm{d}x$

bilden, wobei $\xi \in {ℝ}^n$ und $⟨\xi ,x⟩$ das Skalarprodukt der Vektoren $\xi ,x\in {ℝ}^n$ ist. Diese Formel ist auch für komplexe Vektoren $\zeta \in {ℂ}^n$ sinnvoll. Man nennt

$F_f:{ℂ}^n\to ℂ,F_f(\zeta ):=(2\pi {)}^{-n/2}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-\mathrm{i}⟨\zeta ,x⟩}\mathrm{d}x$

die Fourier-Laplace-Transformierte von $f$. Durch Dualisierung kann man diese Begriffsbildung auf Distributionen mit kompaktem Träger ausdehnen. Ist $T$ eine temperierte Distribution, so ist durch

$\hat{T}(\xi ):=(2\pi {)}^{-n/2}T(x\mapsto e^{-\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩})$

die Fourier-Transformierte definiert. Dazu ist nur zu beachten, dass $x\mapsto e^{-\mathrm{i}⟨\xi ,x⟩}$ eine glatte Funktion ist und dass die Distributionen mit kompaktem Träger genau die stetigen, linearen Funktionale auf dem Raum der glatten Funktionen sind. Obige Formel lässt sich offensichtlich auch für $\zeta \in {ℂ}^n$ schreiben und man nennt

$F_T(\zeta ):=(2\pi {)}^{-n/2}T(x\mapsto e^{-\mathrm{i}⟨\zeta ,x⟩})$

wieder die Fourier-Laplace-Transformierte von $T$.

Die Fourier-Laplace-Transformierten sind holomorphe Funktionen ${ℂ}^n\to ℂ$ und es stellt sich die Frage, welche holomorphen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können. Genau diese Frage beantwortet der Satz von Paley-Wiener.

Satz von Paley-Wiener für Funktionen

Eine holomorphe Funktion $F:{ℂ}^n\to ℂ$ ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit Träger in der Kugel $\{x\in {ℝ}^n|\Vert x\Vert \le B\}$, wenn es zu jedem $N\in \mathbb{N}$ eine reelle Konstante $C_N>0$ gibt, so dass

$|F(\zeta )|\le C_N(1+\Vert \zeta \Vert {)}^{-N}{e}^{B\Vert \mathrm{I}\mathrm{m}\zeta \Vert }$

für alle $\zeta \in {ℂ}^n$.

Dabei ist $\mathrm{I}\mathrm{m}\zeta$ der reelle Vektor der Imaginärteile der Komponenten des Vektors $\zeta$.

Satz von Paley-Wiener für Distributionen

Eine holomorphe Funktion $F:{ℂ}^n\to ℂ$ ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer Distribution mit Träger in der Kugel $\{x\in {ℝ}^n|\Vert x\Vert \le B\}$, wenn es Konstanten $N\in \mathbb{N}$ und $C>0$ gibt, so dass

$|F(\zeta )|\le C(1+\Vert \zeta \Vert {)}^{-N}{e}^{B\Vert \mathrm{I}\mathrm{m}\zeta \Vert }$

für alle $\zeta \in {ℂ}^n$.

Bemerkung

Die Bedingung im Satz für Funktionen ist restriktiver als die Bedingung im Satz für Distributionen. Das ist nicht verwunderlich, denn jede glatte Funktionen $f$ mit kompaktem Träger definiert mittels $T_f(g):=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(x)\mathrm{d}x$ eine Distribution $T_f$ mit kompakten Träger, der im Träger von $f$ liegt, und für die Fourier-Laplace-Transformationen gilt

$F_{T_f}(\zeta )=(2\pi {)}^{-n/2}{T}_f(x\mapsto e^{-\mathrm{i}⟨\zeta ,x⟩})=(2\pi {)}^{-n/2}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-\mathrm{i}⟨\zeta ,x⟩}\mathrm{d}x=F_f(\zeta )$,

das heißt die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit kompaktem Träger ist auch die Fourier-Laplace-Transformierte der durch sie definierten Distribution mit kompaktem Träger.

Beispiele

Die Sätze von Paley-Wiener sollen anhand von zwei Beispielen erläutert werden.

Sei zunächst $f(x):=e^{-x^2}$. Die Fourier-Laplace-Transformierte ist

$F_f(\zeta )=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{1}{4}{\zeta }^2}$.

Ist $\zeta =\xi +\mathrm{i}\eta$ die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so ist ${\zeta }^2={\xi }^2+2\mathrm{i}\eta \xi -{\eta }^2$, das heißt $F_f$ wächst für festen Realteil wie $e^{\frac{1}{4}{\eta }^2}$, jedenfalls schneller als $e^{B|\eta |}=e^{B|\mathrm{I}\mathrm{m}\zeta |}$ für jede Konstante $B>0$. Dies spiegelt gemäß obiger Sätze die Tatsache wider, dass $f$ keinen kompakten Träger hat.

Sei nun $T$ die Distribution $T(\phi ):=\underset{[-1,1]}{\int }\phi (x)\mathrm{d}x$. Eine kurze Rechnung zeigt

$F_T(\zeta )=(2\pi {)}^{-1/2}\underset{[-1,1]}{\int }{e}^{-\mathrm{i}x\zeta }\mathrm{d}x=\dots =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin (\zeta )}{\zeta }$,

wobei für $\zeta =0$ stetig zu $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$ fortgesetzt wird. Ist $\zeta =\xi +\mathrm{i}\eta$ die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so gilt $\sin (\zeta )=\sin (\xi )\cosh (\eta )+\mathrm{i}\cos (\xi )\sinh (\eta )$, das heißt $|\sin (\zeta )|$ lässt sich gegen $e^{|\eta |}=e^{1\cdot |\mathrm{I}\mathrm{m}\zeta |}$ abschätzen, denn die hyperbolischen Funktionen erlauben eine solche Abschätzung. Daraus folgt, dass $F_T$ die Wachstumsbedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Distributionen mit $B=1$ erfüllt. In der Tat ist $T$ eine Distribution mit dem kompakten Träger $[-1,1]$. Die holomorphe Funktion $F_T$ erfüllt aber nicht die Bedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Funktionen, denn gäbe es für $N=2$ eine Konstante $C_N$ wie im Satz, so folgte

$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{|\sin (\zeta )|}{|\zeta |}\le \frac{C_2}{(1+|\zeta |{)}^2}{e}^{B|\mathrm{I}\mathrm{m}\zeta |}$.

Speziell für reelle $\zeta$ ist der Exponentialterm gleich 1 und es folgte $|\sin (\zeta )|\le C_2\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{|\zeta |}{(1+|\zeta |{)}^2}$, und damit würde die Sinusfunktion für große reelle Argumente gegen 0 gehen, was aber bekanntlich nicht der Fall ist. Zwar kommt die Distribution von der charakteristischen Funktion des Intervalls [-1,1] her, und diese hat auch einen kompakten Träger, aber sie ist nicht glatt.