Kommensurator

Der Kommensurator von Untergruppen ist ein Begriff aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Definition

Der Kommensurator der Untergruppe $H$ einer Gruppe $G$, bezeichnet mit ${\mathrm{comm}}_G(H)$ oder, falls die Gruppe $G$ aus dem Kontext ersichtlich ist, auch mit $\mathrm{comm}(H)$, ist

${\mathrm{comm}}_G(H)=\{g\in G:gH{g}^{-1}\cap H\text{ hat endlichen Index in }H\text{ und }gH{g}^{-1}\}$.

Der Kommensurator ist eine Untergruppe von $G$.

Beispiele

• Wenn $G$ eine abelsche Gruppe ist, dann ist ${\mathrm{comm}}_G(H)=G$ für jede Untergruppe $H\subset G$.
• Allgemeiner, wenn $H\subset G$ ein Normalteiler ist, dann ist ${\mathrm{comm}}_G(H)=G$.
• Der Kommensurator eines $\mathbb{Z}$-Faktors im freien Produkt $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ ist $\mathbb{Z}$.
• Allgemeiner, der Kommensurator einer quasikonvexen Untergruppe $H\subset G$ einer hyperbolischen Gruppe $G$ ist $H$.
• Der Kommensurator von $SL(n,\mathbb{Z})$ in $SL(n,ℝ)$ ist $SL(n,\mathbb{Q})$.

Anwendung: Charakterisierung arithmetischer Gitter

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ in einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ ist arithmetisch dann und nur dann, wenn $\mathrm{\Gamma }$ unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn $[{\mathrm{comm}}_G(\mathrm{\Gamma }):\mathrm{\Gamma }]=\mathrm{\infty }$.

Literatur

• Zimmer, Robert J.: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, 81. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984. ISBN 3-7643-3184-4