Lemma von Rasiowa-Sikorski

Das Lemma von Rasiowa-Sikorski, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es sichert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage

Sei $⟨P,{\le }_P⟩$ eine Quasiordnung, und $𝒟$ eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von $P$. Dann gibt es für jedes $p_0\in P$ einen Filter $F\subseteq P$ mit den Eigenschaften:

• $p_0\in F$
• $D\cap F\ne \mathrm{\varnothing }$, für alle $D\in 𝒟$.

Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch $𝒟$-generisch genannt.

Beweis

Sei $D_1,D_2,\dots$ eine Aufzählung der Mengen in $𝒟$ und definiere für $n\ge 0$ rekursiv:

$p_{n+1}:=$"ein Element $p\in D_{n+1}$ mit $p\le p_n$".

Ein solches $p_{n+1}$ existiert aufgrund der Dichtheit von $D_{n+1}$. Dann ist die Menge $F:=\{p\in P\mid \mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:p_n\le p\}$ ein derartiger Filter.

Erweiterungen

Die Aussage wird im Allgemeinen falsch, wenn $𝒟$ die Kardinalität $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen $\kappa$ mit ${\mathrm{\aleph }}_0<\kappa <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.