Superposition (Mathematik)

Unter Superpositionseigenschaft oder Superpositionsprinzip (von Vorlage:LaS und positio; dt. Überlagerung) versteht man in der Mathematik eine Grundeigenschaft homogener linearer Gleichungen, nach der alle Linearkombinationen von Lösungen der Gleichung weitere Lösungen der Gleichung ergeben. Mit Hilfe des Superpositionsprinzips lassen sich die Lösungen inhomogener linearer Gleichungen als Summe der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Das Superpositionsprinzip wird oft bei schwer zu lösenden linearen Gleichungen, wie etwa linearen Differentialgleichungen, eingesetzt, indem das Ausgangsproblem auf einfacher zu lösende Teilprobleme zurückgeführt wird. Es besitzt vielfältige Anwendungen, insbesondere in der Physik.

Grundlagen

Die folgenden Ausführungen gelten allgemein für Vektoren (beispielsweise Zahlen, Zahlentupel oder Funktionen) aus einem Vektorraum über einem beliebigen Körper (beispielsweise die reellen oder komplexen Zahlen).

Lineare Gleichungen

Lösungen einer homogenen und einer inhomogenen reellen linearen Gleichung mit Unbekannten $x_1$ und $x_2$

Eine Bestimmungsgleichung in der Unbekannten $x$ heißt linear, wenn sie in die Form

$T(x)=b$

gebracht werden kann, wobei $T$ eine lineare Abbildung und die rechte Seite $b$ unabhängig von $x$ ist. Eine Abbildung $T$ heißt dabei linear, wenn für Konstanten $\lambda$ und $\mu$

$T(\lambda x+\mu y)=\lambda T\left(x\right)+\mu T\left(y\right)$

gilt. Eine lineare Gleichung heißt homogen, falls die rechte Seite gleich Null ist, also wenn sie die Form

$T(x)=0$

besitzt, ansonsten nennt man die Gleichung inhomogen. Homogene lineare Gleichungen besitzen mindestens die triviale Lösung $x=0$.

Beispiele

Die skalare lineare Gleichung

$3\cdot x_1+4\cdot x_2=0$

mit der Unbekannten $x=(x_1,x_2)$ ist homogen und wird insbesondere durch die triviale Lösung $x=(0,0)$ erfüllt, während die Gleichung

$3\cdot x_1+4\cdot x_2=12$

inhomogen ist und nicht durch die triviale Lösung erfüllt wird.

Superpositionseigenschaft

Superpositionseigenschaft am Beispiel der homogenen linearen Gleichung $2\cdot x_1-3\cdot x_2=0$. Die Gleichung wird durch $(3,2)$ und $(6,4)$ sowie allen Linearkombinationen dieser Lösungen gelöst.

Sind $\hat{x}$ und $\overline{x}$ zwei Lösungen einer homogenen linearen Gleichung, dann lösen diese Gleichung auch alle Linearkombinationen $c\hat{x}+d\overline{x}$ der beiden Lösungen, da

$T(c\hat{x}+d\overline{x})=T(c\hat{x})+T(d\overline{x})=cT(\hat{x})+dT(\overline{x})=0+0=0$.

Verallgemeinert gilt diese Aussage auch für alle Linearkombinationen mehrerer Lösungen zu einer neuen Lösung.

Beispiel

Die homogene lineare Gleichung

$2\cdot x_1-3\cdot x_2=0$

wird beispielsweise durch die beiden Lösungen

$({\hat{x}}_1=3,{\hat{x}}_2=2)$ und $({\overline{x}}_1=6,{\overline{x}}_2=4)$

erfüllt. Damit sind auch

$({\hat{x}}_1+{\overline{x}}_1,{\hat{x}}_2+{\overline{x}}_2)=(9,6)$

und

$(4{\hat{x}}_1+3{\overline{x}}_1,4{\hat{x}}_2+3{\overline{x}}_2)=(30,20)$

Lösungen der Gleichung.

Partikulärlösung

Superpositionsprinzip bei der linearen Gleichung $x_1-2x_2=10$: Lösung der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösung der inhomogenen Gleichung (rot)

Im Gegensatz zu einer homogenen linearen Gleichung, die stets mindestens Null als Lösung besitzt, muss eine inhomogene Gleichung nicht immer lösbar sein, das heißt, ihre Lösungsmenge kann leer sein. Falls eine inhomogene Gleichung lösbar ist, lassen sich ihre Lösungen als Summe der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung, also irgendeiner frei wählbaren Lösung der inhomogenen Gleichung darstellen: Sei $\overline{x}$ eine konkrete Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung und sei $y$ die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Problems, dann ist $y+\overline{x}$ die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung, da

$T(y+\overline{x})=T(y)+T(\overline{x})=0+b=b$

gilt. Dieses Superpositionsprinzip wird oft zur Lösung inhomogener linearer Gleichungen eingesetzt, da die Lösung der homogenen linearen Gleichung und das Auffinden einer Partikulärlösung oft leichter als die Lösung des Ausgangsproblems ist.

Beispiel

Eine konkrete Lösung der inhomogenen Gleichung

$x_1-2x_2=10$

ist

${\overline{x}}_1=4,{\overline{x}}_2=-3$.

Sind nun $y=(y_1,y_2)$ die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

$y_1-2y_2=0$,

also alle $y$ mit $y_1=2y_2$, dann wird die inhomogene Gleichung allgemein gelöst durch

$x=y+\overline{x}=(y_1+{\overline{x}}_1,y_2+{\overline{x}}_2)=(2y_2+4,y_2-3)=(2t+4,t-3)$    mit    $t\in ℝ$.

Überlagerung von Lösungen

Eine wichtige Anwendung des Superpositionsprinzips stellt die Überlagerung von Teillösungen einer linearen Gleichung zu einer Gesamtlösung dar. Lässt sich die rechte Seite $b$ einer inhomogenen linearen Gleichung als Summe $b_1+b_2$ darstellen, gilt also

$T(x)=b_1+b_2$,

und sind $x_1$ und $x_2$ jeweils die Lösungen der Einzelprobleme

$T(x_1)=b_1$   bzw.   $T(x_2)=b_2$,

dann ist die Gesamtlösung des Ausgangsproblems die Summe der beiden Einzellösungen, das heißt

$x=x_1+x_2$.

Ein solches Vorgehen ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn die Einzelprobleme leichter zu lösen sind, als das Ausgangsproblem. Die Konstruktion lässt sich, sofern die entsprechenden Summen konvergieren, auch auf die Überlagerung unendlich vieler Einzellösungen verallgemeinern. Joseph Fourier benutzte solche Reihen zum Lösen der Wärmeleitungsgleichung und begründete damit die Fourier-Analysis.

Einsatzbeispiele

Lineare diophantische Gleichungen

Superpositionsprinzip bei der linearen diophantischen Gleichung $2x_1+3x_2=26$: Lösungen der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösungen der inhomogenen Gleichung (rot)

Bei linearen diophantischen Gleichungen ist die Unbekannte $x$ ein ganzzahliger Vektor für den

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$

gelten soll, wobei $a_1,\dots ,a_n$ und $b$ ganzzahlige Koeffizienten sind. Die Lösungen linearer diophantischer Gleichungen kann man dann durch Kombination der Lösung der homogenen Gleichung mit einer Partikulärlösung, die mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus gefunden werden kann, angeben.

Beispiel

Es sind die ganzzahligen Lösungen $x=(x_1,x_2)$ der linearen diophantischen Gleichung

$2x_1+3x_2=26$

gesucht. Die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

$2y_1+3y_2=0$

ergeben sich als

$y=(y_1,y_2)=(3t,-2t)$    mit    $t\in \mathbb{Z}$.

Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ist hier

$\overline{x}=(4,6)$

wodurch sich die Gesamtheit der Lösungen der inhomogenen Gleichung als

$x=y+\overline{x}=(3t,-2t)+(4,6)=(3t+4,-2t+6)$    mit    $t\in \mathbb{Z}$

ergibt.

Lineare Differenzengleichungen

Superpositionsprinzip bei der linearen Differenzengleichung $x_n-2x_{n-1}=3$: Lösung der homogenen Gleichung für den Startwert $x_0=1$ (blau), Partikulärlösung für $x_0=0$ (grün) und Lösung der inhomogenen Gleichung für $x_0=1$ (rot)

Bei linearen Differenzengleichungen ist die Unbekannte $(x_n{)}_n$ eine Folge, für die

$a_0(n)x_n+a_1(n)x_{n-1}+\cdots +a_k(n)x_{n-k}=b(n)$    für    $n\in \mathbb{N},n\ge k$

gelten soll, wobei $a_0(n),\dots ,a_k(n)$ sowie $b(n)$ Koeffizienten sind. Die Lösung einer Differenzengleichung hängt von den Startwerten $x_0,\dots ,x_{k-1}$ ab. Homogene lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten können beispielsweise mit Hilfe der zugehörigen charakteristischen Gleichung gelöst werden.

Beispiel

Die lineare Differenzengleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$x_n-2x_{n-1}=3$

ergibt für den Startwert $x_0=c$ die Folge $(2c+3,4c+9,8c+21,16c+45\dots )$. Um die explizite Lösungsdarstellung in Abhängigkeit vom Startwert zu finden, betrachtet man die zugehörige homogene Differenzengleichung

$y_n-2y_{n-1}=0$,

deren Lösung für den Startwert $y_0=c$ die Folge $(2c,4c,8c,16c\dots )$, also

$y_n=c{2}^n$

ist. Eine Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung ergibt sich durch die Wahl des Startwerts ${\overline{x}}_0=0$, was dann die Folge $(3,9,21,45\dots )$ ergibt, für die

${\overline{x}}_n=3(2^n-1)$

gilt. Somit ergibt sich die explizite Lösung des inhomogenen Problems zu

$x_n=y_n+{\overline{x}}_n=c{2}^n+3(2^n-1)=(c+3)2^n-3$.

Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

Superpositionsprinzip bei der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung $f^{\prime }(x)+xf(x)=(1+x)e^x$: Lösungen der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösungen der inhomogenen Gleichung (rot) für variierende Anfangsbedingungen

Bei linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen ist die Unbekannte eine Funktion $f$, für die

$a_n(x)f^{(n)}(x)+\cdots +a_1(x)f^{\prime }(x)+a_0(x)f(x)=g(x)$

gelten soll, wobei $a_0,\dots ,a_n$ Koeffizientenfunktionen sind und $g$ eine weitere Funktion als rechte Seite ist. Die Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung kann über das zugehörige Fundamentalsystem angegeben werden, eine Partikulärlösung kann beispielsweise mittels der Variation der Konstanten gefunden werden.

Beispiel

Gesucht ist die Lösung der inhomogenen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

$f^{\prime }(x)+xf(x)=(1+x)e^x$

Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

$h^{\prime }(x)+xh(x)=0$

ist gegeben durch

$h(x)=e^{-\int xdx}=k{e}^{-x^2/2}$

mit der Integrationskonstanten $k\in ℝ$. Um eine Partikulärlösung $\overline{f}$ zu ermitteln, verwendet man den Lösungsansatz des homogenen Problems

$\overline{f}(x)=c(x)e^{-x^2/2}$

und versucht die Konstante $c(x)$, die nun von $x$ abhängt, zu finden. Mittels der Produktregel erhält man für die Ableitung von $\overline{f}$

${\overline{f}}^{\prime }(x)=c^{\prime }(x)e^{-x^2/2}-c(x)x{e}^{-x^2/2}$

und durch Einsetzen in die Originalgleichung

${\overline{f}}^{\prime }(x)+x\overline{f}(x)=c^{\prime }(x)e^{-x^2/2}-c(x)x{e}^{-x^2/2}+c(x)x{e}^{-x^2/2}=c^{\prime }(x)e^{-x^2/2}=(1+x)e^x$

und somit durch Integration

$c(x)=e^{x+x^2/2}$,

wobei man die Integrationskonstante zu Null setzen kann, da man an nur einer speziellen Lösung interessiert ist. Insgesamt erhält man so die Lösung des inhomogenen Problems als

$f(x)=h(x)+\overline{f}(x)=k{e}^{-x^2/2}+e^{x+x^2/2}{e}^{-x^2/2}=k{e}^{-x^2/2}+e^x$.

Durch Wahl einer Anfangsbedingung, beispielsweise $f(0)=k+1$, ist die Lösung dann eindeutig bestimmt.

Lineare partielle Differentialgleichungen

Lösung der homogenen Wärmeleitungs-Gleichung $h_t-h_{xx}=0$ mit $2\sin (\pi x)$ als Anfangsbedingung

Partikulärlösung der inhomogenen Wärmeleitungs-Gleichung $f_t-f_{xx}={\pi }^2\sin (\pi x)$ mit Null-Anfangsbedingung

Lösung der inhomogenen Wärmeleitungs-Gleichung $f_t-f_{xx}={\pi }^2\sin (\pi x)$ mit $2\sin (\pi x)$ als Anfangsbedingung

Bei linearen partiellen Differentialgleichungen ist die Unbekannte eine Funktion mehrerer Veränderlicher $f$, für die

$\sum _{{\alpha }_1=0}^n\cdots \sum _{{\alpha }_m=0}^n{a}_{\alpha }(x)\frac{{\partial }^{|\alpha |}f(x)}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_m^{{\alpha }_m}}=g(x)$

gelten soll, wobei $x=(x_1,\dots ,x_m)$, $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$ und $a_{\alpha }(x)$ sowie $g(x)$ Koeffizientenfunktionen sind. Homogene sowie inhomogene lineare partielle Differentialgleichungen können beispielsweise über Fundamentallösungen oder den Separationsansatz gelöst werden.

Beispiel

Gegeben sei die folgende Wärmeleitungsgleichung als Anfangs-Randwertproblem

$f_t-f_{xx}={\pi }^2\sin (\pi x)$

mit den Dirichlet-Randbedingungen $f(0,t)=f(1,t)=0$ und der Anfangsbedingung $f(x,0)=2\sin (\pi x)$. Die Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung

$h_t-h_{xx}=0$

mit gleichen Anfangs- und Randbedingungen erhält man mit Hilfe des Separationsansatzes

$h(x,t)=F(x)G(t)$

womit gilt

$h_t-h_{xx}=F(x)G^{\prime }(t)-F^{″}(x)G(t)=0$

und somit

$\frac{F(x)}{F^{″}(x)}=\frac{G(t)}{G^{\prime }(t)}$.

Nachdem nun die linke Seite der Gleichung nur von $x$ und die rechte Seite nur von $t$ abhängt, müssen beide Seiten gleich einer Konstanten $k$ sein. Also müssen für $F$ und $G$ die gewöhnlichen Differentialgleichungen

$F^{″}(x)-kF(x)=0$     und     $G^{\prime }(t)-kG(t)=0$

gelten, was für die gegebenen Anfangsbedingungen $k=-{\pi }^2$ die Lösung

$h(x,t)=2\sin (\pi x)e^{-{\pi }^{2}t}$

ergibt. Mit dem gleichen Ansatz erhält man die Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung mit Null-Anfangsbedingung $f(x,0)=0$ als

$\overline{f}(x,t)=\sin (\pi x)(1-e^{-{\pi }^{2}t})$,

womit die Gesamtlösung durch

$f(x,t)=h(x,t)+\overline{f}(x,t)=2\sin (\pi x)e^{-{\pi }^{2}t}+\sin (\pi x)(1-e^{-{\pi }^{2}t})=\sin (\pi x)(e^{-{\pi }^{2}t}+1)$

gegeben ist.

Anwendungen

Das Superpositionsprinzip besitzt vielfältige Anwendungen insbesondere in der Physik, beispielsweise bei der Überlagerung von Kräften, der Interferenz von Wellen, der Überlagerung quantenmechanischer Zustände, Erwärmungsvorgängen in der Thermodynamik oder der Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik.

Literatur

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Weblinks

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