Riesz-Mittel

Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt. Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei eine Reihe $\{s_n\}$. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch

$s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\le \lambda }{(1-\frac{n}{\lambda })}^{\delta }{s}_n$

Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als

$R_n=\frac{1}{{\lambda }_n}\sum _{k=0}^n({\lambda }_k-{\lambda }_{k-1}{)}^{\delta }{s}_k$

Dabei sind die ${\lambda }_n$ eine Folge mit ${\lambda }_n\to \mathrm{\infty }$ und mit ${\lambda }_{n+1}/{\lambda }_n\to 1$, wenn $n\to \mathrm{\infty }$. Die anderen ${\lambda }_n$ sind beliebig.

Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_n$ für Folgen $\{a_n\}$. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n$ vorhanden ist oder der Grenzwert $\underset{\delta \to 1,\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}^{\delta }(\lambda )$ existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

Spezialfälle

Sei $a_n=1$ für alle $n$. Dann gilt

$\sum _{n\le \lambda }{(1-\frac{n}{\lambda })}^{\delta }=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\delta )\mathrm{\Gamma }(s)}{\mathrm{\Gamma }(1+\delta +s)}\zeta (s){\lambda }^{s}ds=\frac{\lambda }{1+\delta }+\sum _n{b}_n{\lambda }^{-n}.$

Dabei muss $c>1$ sein, $\mathrm{\Gamma }(s)$ ist die Gammafunktion und $\zeta (s)$ ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe

$\sum _n{b}_n{\lambda }^{-n}$

für $\lambda >1$ konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.

Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von $a_n=\mathrm{\Lambda }(n)$, wobei $\mathrm{\Lambda }(n)$ die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist

$\sum _{n\le \lambda }{(1-\frac{n}{\lambda })}^{\delta }\mathrm{\Lambda }(n)=-\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\delta )\mathrm{\Gamma }(s)}{\mathrm{\Gamma }(1+\delta +s)}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}{\lambda }^{s}ds=\frac{\lambda }{1+\delta }+\sum _{\rho }\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\delta )\mathrm{\Gamma }(\rho )}{\mathrm{\Gamma }(1+\delta +\rho )}+\sum _n{c}_n{\lambda }^{-n}.$

Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und

$\sum _n{c}_n{\lambda }^{-n}$

ist konvergent für ρ > 1.

Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.

Siehe auch

• Mittelwert

Literatur

• I.I. Volkov: Riesz summation method, in Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch)