Markoff-Zahl

Die ersten Einträge im Baum der Markoff-Zahlen

Eine Markoff-Zahl (nach Andrei Andrejewitsch Markow) ist eine natürliche Zahl $x,y$ oder $z$, die als Lösung der diophantischen Markoff-Gleichung

$x^2+y^2+z^2=3xyz$

vorkommt. Die ersten Markoff-Zahlen sind

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, …

Sie sind Teile der Lösungen der Markoff-Gleichung, von denen die ersten $(1,1,1),(1,1,2),(1,2,5),(1,5,13),(2,5,29)$ lauten. Die Lösungen werden auch als Markoff-Tripel bezeichnet.

Markoff-Zahlen kommen in der Theorie der Quadratischen Formen und der diophantischen Approximationen vor: Ist $m$ eine Markoff-Zahl, so ist $m/\sqrt{9m^2-4}$ sowohl ein Element des sogenannten Markoff-Spektrums (quadratische Formen) als auch des Lagrange-Spektrums (diophantische Approximationen).

Eigenschaften

Es gibt unendlich viele Markoff-Zahlen und -Tripel. Da die Markoff-Gleichung symmetrisch in den Variablen ist, kann man die Lösungstripel $(x,y,z)$ der Größe nach geordnet mit $x\le y\le z$ angeben. Mit Ausnahme der beiden kleinsten Tripel $(1,1,1)$ und $(1,1,2)$ bestehen die Lösungstripel $(x,y,z)$ aus drei verschiedenen Zahlen. Eine seit langer Zeit untersuchte – aber noch unbewiesene – Vermutung besagt, dass das größte Element $z$ eines Tripels schon das Markoff-Tripel $(x,y,z)$ bestimmt.

Die Markoff-Zahlen können wie rechts abgebildet in einem Baum angeordnet werden. Die zur Region 1 benachbarten Markoff-Zahlen sind die Fibonacci-Zahlen $f_i$ mit ungeradem $i$. Die zur Region 2 benachbarten Markoff-Zahlen sind die sogenannten Pell-Zahlen $p_i$ mit ungeradem $i$.

Ist eine Markoff-Zahl $m$ ungerade, so erfüllt sie die Kongruenz $m\equiv 1mod4$ und wenn sie gerade ist, dann gilt $m\equiv 2mod32$. Die drei Markoff-Zahlen eines Tripels sind stets paarweise teilerfremd.

Die Erzeugung neuer Markoff-Tripel aus bekannten

Man kann aus einer Lösung $(x,y,z)$ der Markoff-Gleichung mittels $(x,y,z)\to (x,y,3xy-z)$ weitere Lösungen erzeugen. Dabei ist es nicht nötig, dass die Lösung, mit der man beginnt, der Größe nach geordnet ist. Die unterschiedlichen Anordnungen von $x,y$ und $z$ können unterschiedliche Tripel $(x,y,3xy-z)$ erzeugen.

Nimmt man zum Beispiel $(1,5,13)$, dann bekommt man die drei benachbarten Tripel $(5,13,194),(1,13,34)$ und $(1,2,5)$ im Markoff-Baum, wenn man $x$ gleich $1,5$ oder $13$ setzt. Wendet man $(x,y,z)\to (x,y,3xy-z)$ zweimal an, ohne die Einträge im Tripel umzusortieren, so bekommt man wieder das Ausgangstripel.

Fehler der Approximation für die ersten 1000 Markoff-Zahlen

Beginnt man mit $(1,1,2)$ und vertauscht fortwährend $y$ und $z$ vor jeder Transformation, so erzeugt man damit die oben erwähnten Markoff-Tripel, die Fibonacci-Zahlen enthalten. Mit dem gleichen Starttripel aber mit Vertauschen von $x$ und $z$ erzeugt man die Pell-Lösungen.

Wie groß ist die n-te Markoff-Zahl?

Im Jahr 1982 bewies Don Zagier eine asymptotische Formel für die Anzahl der Markoff-Tripel unterhalb einer Schranke und vermutete, dass die $n$-te Markoff-Zahl asymptotisch gegeben ist durch

$m_n=\frac{1}{3}{e}^{C\sqrt{n}+o(1)}$ mit $C=2,3523418721\dots$

(hier wird die O-Notation von E. Landau verwendet). Der Fehler $(\log (3m_n)/C{)}^2-n$ ist in der nebenstehenden Abbildung illustriert. Die 1000. Markoff-Zahl ist ca. $6\cdot 10^{31}$.

Literatur

• Thomas Cusick, Mari Flahive: The Markoff and Lagrange spectra. In: Math. Surveys and Monographs, 30, 1989, AMS, Providence
• Serge Perrine: La théorie de Markoff et ses développements. Tessier & Ashpool, 2002, Vorlage:ArXiv
• Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers. In: The Mathematical Intelligencer, 7 (3), 1985, S. 20–29.
• Vorlage:MathWorld