Legendresche Chi-Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

Definition

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

${\chi }_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\nu }}.$

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_{\nu }(z)$ ausdrücken:

${\chi }_{\nu }(z)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-{\mathrm{Li}}_{\nu }(-z)]$

${\chi }_{\nu }(z)={\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-\frac{1}{2^{\nu }}{\mathrm{Li}}_{\nu }(z^2)$

Funktion für v = 2:

${\chi }_2(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1{)}^2}$

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

${\chi }_2(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{artanh}(xy)}{y}\mathrm{d}y$

${\chi }_2(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arcsin (xy)}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y$

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\chi }_2(x)=\frac{\mathrm{artanh}(x)}{x}$

Spezielle Werte

Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins

Es gilt folgende Ableitung:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\frac{1}{x}[\mathrm{artanh}(x)-\mathrm{artanh}(\frac{x\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2{y}^2}}\left)\right]=\frac{y}{\sqrt{(1-x^2{y}^2)(1-y^2)}}$

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

$\frac{1}{x}\mathrm{artanh}(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{y}{\sqrt{(1-x^2{y}^2)(1-y^2)}}\mathrm{d}y$

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

${\chi }_2(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arcsin (xy)}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y$

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert $x=1$ in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

${\chi }_2(1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arcsin (y)}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y=[\frac{1}{2}\arcsin (y{)}^2{]}_{y=0}^{y=1}=\frac{{\pi }^2}{8}$

Theorem für tangentielle Gegenstücke

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

${\chi }_2(x)+{\chi }_2\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{{\pi }^2}{8}-2\mathrm{artanh}(x)\mathrm{artanh}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$

Beispielsweise gilt:

${\chi }_2\left(\frac{1}{2}\right)+{\chi }_2\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{{\pi }^2}{8}-2\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{artanh}\left(\frac{1}{3}\right)$

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

$\begin{array}{ccc}{\chi }_2(\mathrm{i})& =& \mathrm{i}\cdot G\\ {\chi }_2(\sqrt{2}-1)& =& \frac{1}{16}{\pi }^2-\frac{1}{4}[\ln (\sqrt{2}+1){]}^2\\ {\chi }_2({\mathrm{\Phi }}^{-1})& =& \frac{1}{12}{\pi }^2-\frac{3}{4}[\ln (\mathrm{\Phi }){]}^2\\ {\chi }_2({\mathrm{\Phi }}^{-3})& =& \frac{1}{24}{\pi }^2-\frac{3}{4}[\ln (\mathrm{\Phi }){]}^2\\ {\chi }_2(-1)& =& -\frac{1}{8}{\pi }^2\\ {\chi }_2(1)& =& \frac{1}{8}{\pi }^2\end{array}$

mit der imaginären Einheit $\mathrm{i}$, der Goldenen Zahl $\mathrm{\Phi }=(\sqrt{5}+1)/2$ und der catalanschen Konstanten $G$.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion $\lambda$

$\lambda (n)={\chi }_n(1)$

und die dirichletsche Beta-Funktion $\beta$:

$\beta (n)=\frac{1}{\mathrm{i}}{\chi }_n(\mathrm{i}).$

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

${\chi }_n(z)=2^{-n}z\mathrm{\Phi }(z^2,n,\frac{1}{2}).$

Siehe auch

• Hurwitzsche Zeta-Funktion

Referenzen

• Vorlage:MathWorld
• Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623–1630.