Trigamma-Funktion

Die Trigammafunktion ${\psi }_1(z)$ in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion $\psi$. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit ${\psi }_1$ bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion $\ln$$(\mathrm{\Gamma }(x))$ definiert, wobei $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion bezeichnet.

Definition und weitere Darstellungen

Die Definition lautet:

${\psi }_1(z)=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z).$

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion $\psi (z)$, dass

${\psi }_1(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\psi (z)$

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2}=\zeta (2,z)$

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen $\zeta$-Funktion ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}y}{y}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x^{z-1}\mathrm{d}x}{1-x}.$

Außerdem gilt

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}\mathrm{d}x.$

Berechnung und Eigenschaften

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen $B_{2k}$ ein:

${\psi }_1(z)\sim \frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}$.

Zwar ist die Reihe für kein $z$ mit $N\to \mathrm{\infty }$ konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte $N$ eine sehr gute Näherung dar. Je größer $|z|$ ist, desto größer kann $N$ gewählt werden.

Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2}$

Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)={\pi }^2{\csc }^2(\pi z).$

Hier ist $\csc$ der Kosekans.

Spezielle Werte

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei $G$ die Catalansche Konstante, $\zeta (x)$ die Riemannsche Zetafunktion und ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}$ die Clausen-Funktion bezeichnet.

$\begin{array}{cccc}& {\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)& =& {\pi }^2+8G\\ & {\psi }_1\left(\frac{1}{3}\right)& =& \frac{2}{3}{\pi }^2+3\sqrt{3}\cdot {\mathrm{C}\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}\mathrm{(}\frac{2}{3}\mathrm{\pi }\mathrm{)}\\ & {\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)& =& \frac{1}{2}{\pi }^2\\ & {\psi }_1\left(\frac{2}{3}\right)& =& \frac{2}{3}{\pi }^2-3\sqrt{3}\cdot {\mathrm{C}\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}\mathrm{(}\frac{2}{3}\mathrm{\pi }\mathrm{)}\\ & {\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)& =& {\pi }^2-8G\\ & {\psi }_1(1)& =& \zeta (2)=\frac{1}{6}{\pi }^2\\ & {\psi }_1\left(\frac{5}{4}\right)& =& {\pi }^2+8G-16\\ & {\psi }_1\left(\frac{3}{2}\right)& =& \frac{1}{2}{\pi }^2-4\\ & {\psi }_1(2)& =& \frac{1}{6}{\pi }^2-1\end{array}$

Einzelnachweise

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt §6.4
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