Ikosaederstumpf

Der Ikosaederstumpf (auch Fußballkörper genannt) ist ein Polyeder (Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Ikosaeders entsteht und zu den dreizehn archimedischen Körpern zählt. Anstatt der zwölf Ecken des Ikosaeders befinden sich nun dort zwölf regelmäßige Fünfecke; die 20 Dreiecke des Ikosaeders werden zu regelmäßigen Sechsecken. Das Polyeder setzt sich somit aus insgesamt 32 Flächen zusammen und hat 60 Ecken sowie 90 Kanten.

Beim regelmäßigen Ikosaederstumpf, also dem Fußballkörper, sind alle 90 Kanten gleich lang.

Der zum Ikosaederstumpf duale Körper ist das Pentakisdodekaeder.

Das mit Abstand am besten untersuchte Fullerenmolekül C₆₀ besitzt die Struktur eines Ikosaederstumpfes.

Formeln

Größen eines regelmäßigen Ikosaederstumpfs mit Kantenlänge $a$
Volumen	$V = \frac{a^{3}}{4} (125 + 43 \sqrt{5})$
Oberflächeninhalt	$A_{O} = 3 a^{2} (10 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}})$
Umkugelradius	$r_{u} = \frac{a}{4} \sqrt{58 + 18 \sqrt{5}} \approx a \cdot 2, 478$
1. Inkugelradius (Pentagon)	$r_{i, 5} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{125 + 41 \sqrt{5}}{10}} \approx a \cdot 2, 327$
2. Inkugelradius (Hexagon)	$r_{i, 6} = \frac{a}{4} \sqrt{3} (3 + \sqrt{5}) \approx a \cdot 2, 267$
Kantenkugelradius	$r_{k} = \frac{3}{4} a (1 + \sqrt{5}) \approx a \cdot 2, 427$
1. Flächenwinkel (Hexagon–Hexagon) ≈ 138° 11′ 23″	$β_{1} = 18 0^{\circ} - 2 \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) \approx 138, 1 9^{\circ}$
2. Flächenwinkel (Hexagon–Pentagon) ≈ 142° 37′ 21″	$β_{2} = 9 0^{\circ} + \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4}) \approx 142, 6 2^{\circ}$
Eckenraumwinkel ≈ 1,3524 π	$Ω = π + 2 \arctan (\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \approx 4, 24874 s r$
Sphärizität ≈ 0,96662	$Ψ = \frac{\sqrt[3]{180 π (2487 + 1075 \sqrt{5})}}{6 (10 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}})}$

Herleitung der Formeln

Zur Berechnung von Eigenschaften, oben Ikosaeder, lila: Sechseck, rot: Fünfeck

Datei:Truncated icosahedron wireframe.stlDer Ikosaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Ecken eines regulären Ikosaeders so, dass die Kanten des Ikosaeders beidseitig um 1/3 gekürzt werden. Das mittlere Drittel wird zur Kante des Ikosaederstumpfes. Bezeichnet $a_{0}$ die Länge der Kante des Ikosaeders und $a$ die Kantenlänge des Ikosaederstumpfes, so gilt

a_{0} = 3 a

Winkel

Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw. einem Sechseck und einem Fünfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel $φ, ψ$ wichtig. Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch, da beim Abstumpfen, aus den Dreiecken Sechsecken werden. Aus der Zeichnung erkennt man, dass (wie beim Ikosaeder)

\tan ψ = \frac{c - a}{c} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \to ψ \approx 20, 9^{\circ}

und damit gilt: Der

Winkel zwischen zwei Sechsecken ist

β_{1} = 18 0^{\circ} - 2 ψ = 18 0^{\circ} - 2 \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})

\approx 138, 1 9^{\circ}

Für den Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist zusätzlich der Winkel $φ$ wichtig. Es gilt (siehe Bild)

\tan φ = \frac{a_{0}}{c} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \to φ \approx 31, 7 2^{\circ}

Es gilt mit $Φ$ als Goldener Schnitt

c = Φ a_{0}

Der

Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist

β_{2} = 9 0^{\circ} + ψ + φ

= 9 0^{\circ} + \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + \arctan (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})

= 9 0^{\circ} + \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})

(siehe Formelsammlung)

\approx 142, 6 2^{\circ}

Für den Raumwinkel folgt aus der Ebenen-Formel

Ω = β_{1} + 2 β_{2} - π = π - 2 ψ + 2 (\frac{π}{2} + ψ + φ) - π = π + 2 φ

Der Raumwinkel in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist also

Ω = π + 2 \arctan (\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \approx 4, 24874 s r .

Kugelradien

Der Kantenkugelradius ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder. Unter Beachtung von $a_{0} = 3 a$ erhält man

$r_{k} = \frac{c}{2} = \frac{3 a}{4} (1 + \sqrt{5}) \approx 2, 427 a$ .

Für den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung

r_{u}^{2} = {(\frac{c}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = {(\frac{3 a}{4} (1 + \sqrt{5}))}^{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{16} (58 + 18 \sqrt{5})

Also ist der

Umkugelradius $r_{u} = \frac{a}{4} \sqrt{58 + 18 \sqrt{5}} \approx 2, 478 a$

Der Inkugelradius der Kugel, die die Sechsecke berührt, ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders:

r_{i, 6} = \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{5})}{12} a_{0}

Mit $a_{0} = 3 a$ ergibt sich für den

Inkugelradius $r_{i, 6} = \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{5})}{4} a \approx 2, 2673 a$

Der Radius der Inkugel, die die Fünfecke berührt, ist gleich dem Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Fünfeckpunkt $(- \frac{a}{2}, \frac{c}{2})$ mit der Steigung $m = \tan φ$ vom Nullpunkt (siehe Bild). Die Gleichung dieser Gerade ist

z = m (y + \frac{a}{2}) + \frac{c}{2} \to m y - z + m \frac{a}{2} + \frac{c}{2} = 0

Mit $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, c = \frac{3 a (\sqrt{5} + 1)}{2}$ ergibt sich

\to (\sqrt{5} - 1) y - 2 z + a (2 \sqrt{5} + 1) = 0 .

Mit der Hesseschen Normalform folgt für das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt

r_{i, 5}^{2} = \frac{a^{2} (2 \sqrt{5} + 1)^{2}}{(\sqrt{5} - 1)^{2} + 4} = \frac{a^{2}}{40} (125 + 41 \sqrt{5})

Also ist der

Inkugelradius für Fünfecke $r_{i, 5} = \frac{a}{2 \sqrt{10}} \sqrt{125 + 41 \sqrt{5}} \approx 2, 3274 a$ .

Oberfläche, Volumen

Die Oberfläche des Ikosaederstumpfes ist gleich 20-mal der Fläche $A_{6}$ eines regelmäßigen Sechsecks plus 12-mal der Fläche $A_{5}$ eines regelmäßigen Fünfecks. Mit

A_{6} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot a^{2}, A_{5} = \frac{1}{4} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} \cdot a^{2}

ist die

Oberfläche des Ikosaederstumpfs

A_{O} = 20 \cdot A_{6} + 12 \cdot A_{5} = 3 (10 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}) \cdot a^{2}

Ein Ikosaederstumpf als Körper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Fünfecke als Grundfläche und $r_{i, 5}$ als Höhe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundfläche und $r_{i, 6}$ als Höhe zusammengesetzt denken. Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich