Einsetzungshomomorphismus

Im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie bezeichnet der Einsetzungshomomorphismus (auch Substitutions- oder Auswertungshomomorphismus) die eindeutige Fortsetzung eines Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen mit Eins zu einem Homomorphismus des zum Definitionsbereich gehörigen Polynomrings in einer oder mehreren Veränderlichen.

Definition

Es sei $\phi :A\to B$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Des Weiteren bezeichne $A[X]$ den zu $A$ gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.

Zu jedem $b\in B$ lässt sich nun eine Abbildung ${\phi }_b:A[X]\to B$ definieren, welche ein Polynom

$f=\sum _{i\ge 0}{a}_i{X}^i$

abbildet auf

${\phi }_b(f):=\sum _{i\ge 0}\phi (a_i)b^i$.

Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus als Einsetzungshomomorphismus.

Eigenschaften

Im Einzelnen gilt ${\phi }_b(a)=\phi (a)$ für alle $a\in A$, es setzt also ${\phi }_b$ den Homomorphismus $\phi$ auf den Polynomring $A[X]$ fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus $A$ stammenden Koeffizienten identifiziert. Des Weiteren gilt ${\phi }_b(X)=b$, was den Namen Einsetzungshomomorphismus motiviert: Man setzt das konkrete Ringelement $b\in B$ für die durch $X\in A[X]$ symbolisierte Veränderliche ein.

Dass der so definierte Homomorphismus unter den gegebenen Voraussetzungen immer existiert und zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade der Satz über den Einsetzungshomomorphismus.

Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen

Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen

Ist $A$ ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich induktiv Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring $A[X_1]$ entsteht so anfangs $A[X_1,X_2]:=A[X_1][X_2]$, indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus $A[X_1]$ zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.

Ist nun $\phi :A\to B$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und $A[X_1,\dots ,X_n]$ der zu $A$ gehörigen Polynomring in $n$ Veränderlichen, so lässt sich zu jedem $n$-Tupel $(b_1,\dots ,b_n)$ in $B$ eine Abbildung ${\phi }_{(b_1,\dots ,b_n)}:A[X_1,\dots ,X_n]\to B$ definieren, die ein Polynom

$f=\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\ge 0}{a}_{i_1{i}_2\dots i_n}{X}_1^{i_1}{X}_2^{i_2}\dots X_n^{i_n}$

abbildet auf

${\phi }_{(b_1,\dots ,b_n)}(f):=\sum _{i\ge 0}\phi (a_{i_1{i}_2\dots i_n})b_1^{i_1}{b}_2^{i_2}\dots b_n^{i_n}$.

Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen

Für einen kommutativen Ring mit Eins $A$ lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen

$f:{\mathbb{N}}^I\to A$,

wobei $I$ eine beliebige Indexmenge sei und ${\mathbb{N}}^{(I)}$ die Menge aller Abbildungen von $I$ nach $\mathbb{N}$ mit endlicher Trägermenge. Man bezeichnet den Ring der Polynome über $A$ in unendlich vielen Veränderlichen mit $A[(X_i{)}_{i\in I}]$.

Für einen Homomorphismus $\phi :A\to B$ zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder Familie $\beta :=(b_i{)}_{i\in I}$ in $B$ eine Abbildung ${\phi }_{\beta }:A[(X_i{)}_{i\in I}]\to B$ definieren, welche ein Polynom $f\in A[(X_i{)}_{i\in I}]$ abbildet auf

${\phi }_{\beta }(f):=\sum _{\alpha }\phi (f(\alpha ))b_{\alpha }$,

wobei $\alpha :=(a_i{)}_{i\in I}\in {\mathbb{N}}^{(I)}$ und $b_{\alpha }:=\prod _{i\in I}{b}_i^{(a_i)}$.

Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge $I$.

Punktauswertung als Spezialfall

Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus $\iota :A\to B$, ist also $B$ eine Ringerweiterung von $A$, so nennt man für ein $b\in B$ in diesem Spezialfall den zu $\iota$ gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung ${\iota }_b$. Man schreibt in diesem Fall häufig $f(b):={\iota }_b(f)$ für den Wert von $f$ an der Stelle $b$.

Man bezeichnet das Bild ${\iota }_b(A)$ oft mit $A[b]$. Das Bild ist der kleinste Unterring von $B$, welcher sowohl das Bild $\iota (A)\cong A$ als auch $b$ enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form $a_0+a_{1}b+\cdots +a_n{b}^n$.

Existiert für ein $f\in A[X]$ ein $a\in A$, sodass ${\iota }_a(f)=0$ gilt, so bezeichnet man $a$ als Nullstelle von $f$. Von besonderer Bedeutung für die Theorie algebraischer Gleichungen ist der Kern der Abbildung ${\iota }_b$ für ein Element $b$ aus $B$, welches nicht notwendigerweise in $A$ liegt. Ist ${\iota }_b$ injektiv, gilt also ${\iota }_b(f)=0$ genau dann, wenn $f$ das Nullpolynom ist, so bezeichnet man $b$ auch als transzendent über $A$ und es ist $A[X]$ isomorph zu $A[b]$. Andernfalls nennt man $b$ algebraisch über $A$, was gleichbedeutend damit ist, dass $b$ als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus $A$ auftritt.

Wie im Falle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes existieren auch für die Punktauswertung und alle damit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen.

Beispiele

Ist $I$ ein Ideal in einem Ring $A$ (kommutativ und mit Einselement), so induziert der Homomorphismus $\phi :A\to A/I\hookrightarrow (A/I)[X]$, welcher sich aus der Projektion auf den Faktorring $A/I$ und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring $(A/I)[X]$ zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus ${\phi }_X:A[X]\to (A/I)[X]$. Die Koeffizienten eines Polynoms $f\in A[X]$ werden also modulo $I$ reduziert. Hierbei wird das Monom $X\in A[X]$ durch das entsprechende Monom $(1+I)X$ aus $(A/I)[X]$ substituiert.

Literatur

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