Absolute Galoisgruppe

Die absolute Galoisgruppe $G_{K}$ eines Körpers $K$ ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss $K^{s e p} / K$ gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung $K^{s e p} / K$ von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von $G_{K}$ verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen $L / K$ , insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

Beispiele

Für einen perfekten Körper K ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also Ksep=K‾.
- Wegen $\overline{ℝ} = ℂ$ ist $G_{ℝ} = {i d, c}$ , wobei $c$ die komplexe Konjugation bezeichnet.
- Für $K = ℚ$ wurde bisher keine explizite Charakterisierung von $G_{K}$ gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem $G_{K}$ treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert. Die Absolute Galoisgruppe über den rationalen Zahlen ist wichtig in der Zahlentheorie und Gegenstand der inzwischen bewiesenen Serre-Vermutung.
- Wenn $𝔽_{q}$ der Körper mit $q$ Elementen ist, gilt $G_{𝔽_{q}} = \lim_{⟵} ℤ / n ℤ = : \hat{ℤ}$ , wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von $ℤ / n ℤ (n \in ℕ)$ , die Gruppe der proendlichen Zahlen, steht.