Kiepert-Hyperbel

Kiepert-Hyperbel mit ausgezeichneten Punkten (Dreieckszentren)

Die Kiepert-Hyperbel eines Dreiecks, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.

Definition

Ausgangsdreieck $\mathrm{△}ABC$, Kiepert-Dreieck: $\mathrm{△}DEF$, Perspektivitätszentrum $P$, gleich große Basiswinkel (grün), Kiepert-Hyperbel (rot)

An den Seiten eines Dreiecks $\mathrm{△}ABC$ werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke $\mathrm{△}ABF$, $\mathrm{△}BCD$ und $\mathrm{△}ACE$ angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck $\mathrm{△}DEF$, das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck $\mathrm{△}DEF$ und das Ausgangsdreieck $\mathrm{△}ABC$ sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden $FC$, $AE$ und $BD$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, dem Perspektivitätszentrum.

Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks $\mathrm{△}ABC$ ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen $-90^{\circ }$ und $90^{\circ }$ durchlaufen lässt.

Bezeichnungen und Koordinaten

Der Basiswinkel $\varphi$ der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit ${𝒦}_{\varphi }$ bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit $K_{\varphi }$.

Die baryzentrischen Koordinaten von $K_{\varphi }$ sind

$(\frac{1}{S_A+S_{\varphi }}:\frac{1}{S_B+S_{\varphi }}:\frac{1}{S_C+S_{\varphi }}).$

Dabei werden die Abkürzungen $S_A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$ ($S_B,S_C$ entsprechend) und $S_{\varphi }=2\mathrm{\Delta }\cot \varphi$ der Conway-Dreiecksnotation verwendet. $a,b,c$ stehen für die Seitenlängen, $\mathrm{\Delta }$ für den Flächeninhalt des Dreiecks.

Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist

$(b^2-c^2)yz+(c^2-a^2)xz+(a^2-b^2)xy=0.$

Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten

$(b^2-c^2{)}^2:(c^2-a^2{)}^2:(a^2-b^2{)}^2,$

die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).

Eigenschaften

Kiepert-Hyperbel

Bei der Kiepert-Hyperbel handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:

• die Ecken des gegebenen Dreiecks,
• den Höhenschnittpunkt,
• den Schwerpunkt,
• den Spieker-Punkt,
• die beiden Napoleon-Punkte,
• die beiden Fermat-Punkte,
• den Tarry-Punkt,
• den dritten Brocard-Punkt,
• die beiden Vecten-Punkte.

Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.

Literatur

• R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205
• Cristoph Pöppe: Napoleons Punkt und Kieperts Hyperbel. In: Spektrum der Wissenschaft, August 2017

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Kiepert-Hyberbel – Animation mit GeoGebra