Panjer-Algorithmus

Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

$S:=\sum _{i=1}^N{X}_i:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\chi }_{\{\omega \in \mathrm{\Omega }|N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^n{X}_i$

zu berechnen. Dabei sind $N$ und $X_i$ Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und $\chi$ bezeichnet die Indikatorfunktion.

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht. Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

Vorbedingungen

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable $S={\sum }_{i=1}^N{X}_i$ interessiert, wobei $N$ und $X_i$ die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

Schadenanzahlverteilung

$N$ ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. $N\in {\mathbb{N}}_0$. $N$ ist unabhängig von $X_i$.

Weiterhin muss $N$ ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in ${\mathbb{N}}_0$, welche die folgende Relation erfüllen:

$p_k=(a+\frac{b}{k})\cdot p_{k-1}$ mit $k\ge 1$ und für $a$ und $b$ mit $a+b\ge 0$.

Der Wert $p_0$ wird so bestimmt, dass ${\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k=1$ erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper, dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei $W_N(x)$ die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.

Verteilung	$P[N=k]$	$a$	$b$	$p_0$	$W_N(x)$	$E[N]$	$Var(N)$
Binomial	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$	$\frac{p}{p-1}$	$\frac{p(n+1)}{1-p}$	$(1-p{)}^n$	$(px+(1-p){)}^n$	$np$	$np(1-p)$
Poisson	$e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$	$0$	$\lambda$	$e^{-\lambda }$	$e^{\lambda (x-1)}$	$\lambda$	$\lambda$
Negative Binomial	$\frac{\mathrm{\Gamma }(r+k)}{k!\mathrm{\Gamma }(r)}{p}^r(1-p{)}^k$	$1-p$	$(1-p)(r-1)$	$p^r$	${\left(\frac{p}{1-x(1-p)}\right)}^r$	$\frac{r(1-p)}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$

Einzelschadenverteilung

Wir nehmen an, dass $X_i$ identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von $N$ sind. Weiterhin muss $X_i$ auf einem Gitter $h{\mathbb{N}}_0$ mit Gitterlänge $h>0$ verteilt sein.

$f_k=P[X_i=hk].$

Rekursion

Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten $g_k=P[S=hk]$ zu berechnen.

Der Startwert ist: $g_0=W_N(f_0)$

mit den Spezialfällen

$g_0=p_0\cdot \exp (f_{0}b)\text{ für }a=0,$

und

$g_0=\frac{p_0}{(1-f_{0}a{)}^{1+b/a}}\text{ für }a\ne 0.$

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

$g_k=P[S=hk]=\frac{1}{1-f_{0}a}\sum _{j=1}^k(a+\frac{b\cdot j}{k})\cdot f_j\cdot g_{k-j}.$

Beispiel

Abbildung 1

Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von $S={\sum }_{i=1}^N{X}_i$ wobei $N\sim \mathrm{NegBin}(3,5;0,3)$ und $X\sim \mathrm{Frechet}(1,7;1)$. Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite $h=0,04$ diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).

Siehe auch

• Panjer-Verteilung
• Blackwell-Girshick-Gleichung

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.