Fréchet-Ableitung

Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im ${ℝ}^n$ auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit.

Definition

Beziehung der drei Abbildungen

Es seien $(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$ und $(Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y)$ zwei normierte Räume und $U\subset X$ eine offene Teilmenge. Ein Operator $A:U\to Y$ heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle $\phi \in U$, wenn es einen beschränkten linearen Operator $A^{\prime }(\phi ):X\to Y$ derart gibt, dass

$\underset{\Vert h{\Vert }_X\to 0}{\lim }\frac{1}{\Vert h{\Vert }_X}{\Vert A(\phi +h)-A(\phi )-A^{\prime }(\phi )h\Vert }_Y=0$

gilt. Der Operator $A^{\prime }(\phi )$ heißt Fréchet-Ableitung von $A$ an der Stelle $\phi$. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle $\phi \in U$, dann heißt die Abbildung $A^{\prime }:U\to L(X,Y)$ mit $\phi \mapsto A^{\prime }(\phi )$ die Fréchet-Ableitung von $A$ auf $U$. Mit $L(X,Y)$ wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von $X$ nach $Y$ bezeichnet.

Hinweis zur Notation: Im klassischen Fall für $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ wird meist der Repräsentant $f^{\prime }(x_0)\in {ℝ}^{n\times m}$ des Ableitungsoperators Ableitung genannt. Hier wird aber der daraus resultierende lineare Operator $x\mapsto f^{\prime }(x_0)x$ Ableitung genannt. Bspw. für eine lineare Funktion $f(x)=Cx$ ist der Ableitungsoperator $x\mapsto f^{\prime }(x_0)x=Cx=f(x)$, aber es gilt trotzdem $f^{\prime }(x_0)\ne f(x_0)$.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ so, dass für alle $h\in X$ mit $\Vert h\Vert \le \delta$ gilt

$\Vert A(\phi +h)-A(\phi )-A^{\prime }(\phi )h{\Vert }_Y\le \epsilon \Vert h{\Vert }_X$.

Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

$A(\phi +h)-A(\phi )=A^{\prime }(\phi )h+o(\Vert h{\Vert }_X)$ für $h\to 0$.

Beispiele

Lineare Operatoren

Für endlichdimensionale normierte Räume $X,Y$ sind alle linearen Operatoren $A:X\to Y$ Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist der Ableitungsoperator der lineare Operator selbst: $A^{\prime }(\phi )=A$ für alle $\phi \in X$, da sofort gilt: $A(\phi +h)-A(\phi )-A^{\prime }(\phi )h=0$.

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen

Ist $f:U\to ℝ$ eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge $U\subset {ℝ}^n$ definiert ist, und besitzt $f$ stetige partielle Ableitungen, dann ist $f$ auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle $x$ wird durch den üblichen Gradienten von $f$ gegeben gemäß:

$f^{\prime }(x):h\mapsto \text{grad}f(x)\cdot h=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i$

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im ${ℝ}^n$. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Integraloperator

Sei $J=[a,b]\subset ℝ$, $k:J\times J\to ℝ$ stetig und $f:J\times ℝ\to ℝ$ stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator $F:C(J)\to C(J)$ definiert durch

$(Fx)(t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(t,s)f(s,x(s))\mathrm{d}s$

ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung $F^{\prime }$ lautet

$(F^{\prime }(x)h)(t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(t,s)\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s))h(s)\mathrm{d}s.$

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

$f(s,x(s)+h(s))-f(s,x(s))=\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)+\rho (s)h(s))h(s)$

mit $0<\rho (s)<1$ und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $\frac{\partial f}{\partial x}$ auf $J\times \{z\in ℝ:|z|\le \sup |x|+1\}$ gilt

$\underset{s\in J}{\sup }|\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)+\rho (s)h(s))-\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s))|\le ϵ$

für $\sup |h|\le \delta$. Für $\sup |h|\le \delta$ gilt also

$\sup |F(x+h)-F(x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}k(\cdot ,s)\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s))h(s)\mathrm{d}s|\le ϵ\sup |h|\underset{(t,s)\in J\times J}{\max }|k(t,s)|(b-a),$

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Rechenregeln

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im ${ℝ}^n$ auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

• $(A+B{)}^{\prime }(\phi )=A^{\prime }(\phi )+B^{\prime }(\phi )$
• $(\lambda A{)}^{\prime }(\phi )=\lambda A^{\prime }(\phi )$.
• Kettenregel: $(A\circ B{)}^{\prime }(\phi )=(A^{\prime }\circ B)(\phi )B^{\prime }(\phi )$. Das Produkt $(A^{\prime }\circ B)(\phi )B^{\prime }(\phi )$ ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
• Ist $A$ ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt $A^{\prime }(\phi )=A$. Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: $(A\circ B{)}^{\prime }(\phi )=A{B}^{\prime }(\phi )$ und $(B\circ A{)}^{\prime }(\phi )=B^{\prime }(A(\phi ))A$.
• Produktregel: Ist $A:X_1\times \dots \times X_n\to Y$ eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist $A^{\prime }({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n):(h_1,\dots ,h_n)\mapsto A(h_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n)+\dots +A({\phi }_1,\dots ,{\phi }_{n-1},h_n)$

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung

Sei $A$ an der Stelle $\phi$ Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung $h\in X$ das Gâteaux-Differential $\delta A(\phi ,h)$ und es gilt:

$\delta A(\phi ,h)=A^{\prime }(\phi )h$.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von $A$ an der Stelle $\phi$, die im Folgenden mit $A{\text{'}}_s(\phi )$ bezeichnet wird, und es gilt:

$A{\text{'}}_s(\phi )=A^{\prime }(\phi )$.

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Falls $A$ in einer Umgebung $U$ von $\phi$ Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung

$A{\text{'}}_s(.):U\to ℒ(X,Y)$ gegeben durch $\psi \mapsto A{\text{'}}_s(\psi )$

im Punkt $\phi$ stetig ist bezüglich der Operatornorm auf $ℒ(X,Y)$, so ist $A$ im Punkt $\phi$ Fréchet-differenzierbar.

Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

Anwendungsbeispiel

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei $D\subset {ℝ}^2$ ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf $\partial D$ durch eine Quelle im Punkt $z\in {ℝ}^2\setminus \overline{D}$ gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion $u$ in ${ℝ}^2\setminus \overline{D}$ die Laplace-Gleichung:

$\mathrm{\Delta }u=0\text{in}{ℝ}^2\setminus \overline{D}$

und die Dirichlet-Randbedingung:

$u=-\mathrm{\Phi }(\cdot ,z)\text{auf}\partial D.$

Mit $\mathrm{\Phi }$ bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt $z$ beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet $B\subset {ℝ}^2$ aus, welches $D$ enthält. Auf dem Rand $\partial B$ von $B$ messen wir die Werte der Lösung $u$ des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur $u{|}_{\partial B}$. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand $\partial D$ von $D$ aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator $F$ beschreiben, der den unbekannten Rand $\partial D$ auf die bekannte Spur $u{|}_{\partial B}$ abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

$F(\partial D)=u{|}_{\partial B}$

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete $D$ ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

$x(t)=r(t)(\cos (t),\sin (t))$

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion $r$. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

$F(r)+F^{\prime }(r,q)=u{|}_{\partial B}$

Hierbei bezeichnet $F^{\prime }$ die Fréchet-Ableitung des Operators $F$ (die Existenz der Fréchet-Ableitung für $F$ kann gezeigt werden und $F^{\prime }$ kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden). Diese Gleichung wird dann nach $q$ aufgelöst, wobei wir mit $r+q$ eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur

• Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart/Leipzig, ISBN 3-519-42232-8.
• Henri Cartan: Differentialrechnung. Bibliographisches Institut AG, Zürich 1974, ISBN 3-411-01442-3.