Satz von Varignon

Der Satz von Varignon (auch Satz vom Mittenviereck) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).

Formulierung

Viereck mit konstruiertem Parallelogramm

Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

Beweis

Voraussetzung

$\overline{AE}=\overline{EB},\overline{BF}=\overline{FC},\overline{CG}=\overline{GD},\overline{DH}=\overline{HA}$

Behauptung

Das Viereck $EFGH$ ist ein Parallelogramm.

Gang des Beweises

1. Betrachte das Dreieck $ABC$. Nimmt man $B$ als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden $A$ auf $E$ und $C$ auf $F$ mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt $AC\parallel EF$.
2. Ebenso zeigt man, dass $AC\parallel GH$, $BD\parallel FG$, und $BD\parallel HE$.
3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist $EF\parallel HG$ und $FG\parallel HE$.

Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Folgerungen

Umfang des Varignon-Parallelogramms

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck.

Fläche des Varignon-Parallelogramms

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Siehe auch

• Satz von Commandino
• Diagonalensatz
• Varignon'scher Apparat

Literatur

• Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
• Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
• Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (englisch)
• Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet
• Varignon parallelogram auf cut-the-knot-org