Multilinearform

Eine $p$-Multilinearform $\omega$ ist in der Mathematik eine Funktion, die $p$ Argumenten $v_i\in V_i,i\in \{1,\dots ,p\}$ aus $K$-Vektorräumen $V_1,\dots ,V_p$ einen Wert $\omega (v_1,\dots ,v_p)\in K$ zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition

Eine Abbildung

$\begin{array}{cc}\omega :V_1\times \cdots \times V_p& \to K\\ (v_1,\dots ,v_p)& \mapsto \omega (v_1,\dots ,v_p)\end{array}$

heißt Multilinearform, wenn für alle $v_j\in V_j,j\in \{1,\dots ,p\}$ und alle $i\in \{1,\dots ,p\}$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle $\lambda \in K$ gilt

$\omega (v_1,\dots ,\lambda v_i,\dots ,v_p)=\lambda \omega (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_p)$

und für alle $w\in V_i$

$\omega (v_1,\dots ,v_i+w,\dots ,v_p)=\omega (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_p)+\omega (v_1,\dots ,w,\dots ,v_p)$.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen ${𝒥}^p(V_1,\dots ,V_p)$ bildet einen $K$-Vektorraum. Im Fall $V_1=\cdots =V_p=:V$ schreibt man ${𝒥}^p(V):={𝒥}^p(V,\dots ,V)$.

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform $\omega \in {𝒥}^p(V)$ heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

$\omega (\dots ,v,\dots ,v,\dots )=0$

für alle $v\in V$.

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

$\omega (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_j,\dots ,v_p)=-\omega (v_1,\dots ,v_j,\dots ,v_i,\dots ,v_p)$

für alle $v_k\in V,k\in \{1,\dots ,p\}$ und $i,j\in \{1,\dots ,p\},i\ne j$. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist, also zum Beispiel für $K=ℝ$.

Ist allgemeiner $\pi \in S_p$ eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

$\omega (v_{\pi (1)},\dots ,v_{\pi (p)})=\mathrm{sign}(\pi )\cdot \omega (v_1,\dots ,v_p)$,

wobei $\mathrm{sign}(\pi )$ das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen ${\mathrm{\Omega }}^p(V)$ ist ein Untervektorraum von ${𝒥}^p(V)$. Wichtig ist der Spezialfall $p=\dim V$. Dann ist ${\mathrm{\Omega }}^p(V)$ ein eindimensionaler Unterraum von ${𝒥}^p(V)$, und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Auf dem durch alle ${\mathrm{\Omega }}^p(V),p=0,1,2,\dots$ erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra.

Beispiele

1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist).
3. Bildet man aus $n$ Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also $\omega$ definiert durch
   $\omega (v_1,v_2,v_3):=\det \left(\begin{array}{ccc}{v}_{1x}& v_{2x}& v_{3x}\\ v_{1y}& v_{2y}& v_{3y}\\ v_{1z}& v_{2z}& v_{3z}\end{array}\right)$
   eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren $v_1,v_2,v_3$ folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
   $v_1=\left(\begin{array}{c}{v}_{1x}\\ v_{1y}\\ v_{1z}\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}{v}_{2x}\\ v_{2y}\\ v_{2z}\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}{v}_{3x}\\ v_{3y}\\ v_{3z}\end{array}\right)$.
4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume $V_i$ identisch sind (also $V_i=V$), ist die $p$-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor $p$-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden $p$-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren $p$-ter Stufe.
5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.