Determinantenfunktion

Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von $n$ Vektoren eines $n$-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Dann heißt eine Funktion $f:V^n\to K$ Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• $f$ ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:

$\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},\mathrm{\forall }a,b\in V:f(v_1,\dots ,v_{i-1},a+b,v_{i+1},\dots ,v_n)=f(v_1,\dots ,v_{i-1},a,v_{i+1},\dots ,v_n)+f(v_1,\dots ,v_{i-1},b,v_{i+1},\dots ,v_n)$ (Additivität)

$\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},\mathrm{\forall }a\in V,\mathrm{\forall }r\in K:f(v_1,\dots ,v_{i-1},r\cdot a,v_{i+1},\dots ,v_n)=r\cdot f(v_1,\dots ,v_{i-1},a,v_{i+1},\dots ,v_n)$ (Homogenität)

• $f$ ist alternierend:

$(\mathrm{\exists }r,s\in \{1,\dots ,n\},r\ne s:v_r=v_s)\Rightarrow f(v_1,v_2,\dots ,v_n)=0$

Eigenschaften

• Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation $\sigma$: $f(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (n)})=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )\cdot f(v_1,v_2,\dots ,v_n)$, wobei $\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}$ das Signum der Permutation bezeichnet.

• Sind $v_1,v_2,\dots ,v_n\in V$ linear abhängig, so gilt $f(v_1,v_2,\dots ,v_n)=0$. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h. $f\equiv ̸0$) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

• Sind $f,g:V^n\to K$ zwei Determinantenfunktionen und $f\equiv ̸0$, dann gibt es ein $a\in K$ so, dass $g(v_1,v_2,\dots ,v_n)=a\cdot f(v_1,v_2,\dots ,v_n)\mathrm{\forall }{v}_1,v_2,\dots ,v_n\in V$. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinantenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

• Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
• $V={ℝ}^n$, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
• Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

• H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
• S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2