Zyklischer Untervektorraum

In der Mathematik der Linearen Algebra versteht man unter einem Zyklischen Untervektorraum einen Untervektorraum eines Vektorraums zusammen mit einem Vektor und einem Endomorphismus des Obervektorraums. Für einen Endomorphismus $f$ und einen Vektor $v$ von $V$ nennt man diesen auch $f$-zyklischen Untervektorraum zu $v$ und $v$ zyklischen Vektor von $f$. Zyklische Unterräume sind ein wichtiger Bestandteil des zyklischen Zerlegungssatzes der Linearen Algebra.

Definition

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum, $f:V\to V$ ein Endomorphismus und $v$ ein Vektor aus $V$. Der $f$-zyklische Untervektorraum von $V$ zu $v$, im Englischen meist $Z(v;f)$ geschrieben, ist der $f$-invariante Untervektorraum von $V$ mit dem Aufspann:$⟨v,f(v),f^2(v),\dots ,f^r(v),\dots ⟩$.

Nach Definition des Aufspanns eines Vektorraums ist dies also äquivalent dazu, dass jeder Vektor aus $Z(v;f)$ sich als $g(f)v$ schreiben lässt, wobei $g(x)$ aus dem Polynomring $K[x]$ stammt, wobei der Körper $K$ jener ist, über den der Vektorraum induziert wird.

Beispiele

1. Für alle $V$ und $f$ ist $Z(0;f)$ der Nullvektorraum.
2. Ist $I$ die Identitätsabbildung so ist $Z(v;I)$ null- oder ein-dimensional.
3. $Z(v;f)$ ist genau dann ein-dimensional, wenn $v$ ein Eigenvektor von $f$ ist.
4. Sei $V$ der zwei-dimensionale $ℝ$-Vektorraum und sei $f$ der Endomorphismus von $V$ mit darstellender Matrix $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ bezüglich der kanonischen Einheitsbasis von $V$. Sei $v=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$. Dann gilt: $f(v)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),f^2(v)=0,\dots ,f^r(v)=0,\dots$Also folgt: $⟨v,f(v),f^2(v),\dots ,f^r(v),\dots ⟩=⟨\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)⟩$ und somit $Z(v;f)$ $=V$ . Damit ist $v$ ein zyklischer Vektor zu $f$.

Begleitmatrix

Sei $f:V\to V$ Endomorphismus eines $n$-dimensionalen $K$-Vektorraums $V$ und sei $v$ ein zyklischer Vektor zu $f$. Dann bilden die Vektoren

$\mathrm{B}=\{v_1=v,v_2=f(v),v_3=f^2(v),\dots ,v_n=f^{n-1}(v)\}$

eine Basis von $V$. Dies lässt sich leicht per Widerspruch zur Minimalität des Minimalpolynom beweisen. Sei nun das charakteristische Polynom von $f$ durch

$p(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}+x^n$. gegeben.

Dann folgt:

$\begin{array}{cc}f(v_1)& =v_2\\ f(v_2)& =v_3\\ f(v_3)& =v_4\\ ⋮& \\ f(v_{n-1})& =v_n\\ f(v_n)& =-c_0{v}_1-c_1{v}_2-\cdots c_{n-1}{v}_n\end{array}$

Also hat die darstellende Matrix von $f$ bezüglich der Basis $\mathrm{B}$ die Form:

$\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& -c_0\\ 1& 0& 0& \dots & 0& -c_1\\ 0& 1& 0& \dots & 0& -c_2\\ ⋮& & & & & \\ 0& 0& 0& \dots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right)$

Die Matrix nennt man auch die Begleitmatrix von $p(x)$.

Siehe auch

• Begleitmatrix
• Krylowraum

Weblinks

• PlanetMath: cyclic subspace