Q-Analogon

Ein $q$-Analogon (Pl. $q$-Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein $q$-Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters $q$, so dass man im Fall $q\to 1$ wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der $q$-Polynome.

Elementare Beispiele

Eine natürliche Zahl $n$ besitzt das $q$-Analogon

$[n{]}_q:=\frac{1-q^n}{1-q}=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1},$

da $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$.

Kombinatorik

q-Fakultät

Die $q$-Fakultät ist für $n>0$

$[n{]}_q!:=[n{]}_q[n-1{]}_q\cdots [1{]}_q=\prod _{k=1}^n\frac{1-q^k}{1-q},$

und $[0{]}_q!:=1$.

Durch ausmultiplizieren erhält man

$[n{]}_q!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

q-Pochhammer-Symbol

Das $q$-Pochhammer-Symbol, auch $q$-Shiftfakultät genannt, ist

$(a;q{)}_n:=\prod _{k=1}^n(1-a{q}^{k-1})$

oder allgemeiner

$(a_1,a_2,\dots ,a_m;q{)}_n:=(a_1;q{)}_n(a_2;q{)}_n\dots (a_m;q{)}_n.$

q-Binomialkoeffizient

Der $q$-Binomialkoeffizient ist

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q:=\frac{[n{]}_q!}{[k{]}_q![n-k{]}_q!}=\prod _{j=1}^k\frac{(1-q^{n-j+1})}{(1-q^j)}.$

Eigenschaften

Es gilt

$[n{]}_q!=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}$

und

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q=\frac{(q;q{)}_n}{(q;q{)}_k(q;q{)}_{n-k}}.$

q-Spezielle Funktionen

q-hypergeometrische Funktion

Das $q$-Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die $q$-hypergeometrische Funktion

${}_r{\varphi }_s[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_r\\ b_1& b_2& \dots & b_s\end{array};q,z]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_r;q{)}_n}{(q,b_1,b_2,\dots ,b_s;q{)}_n}{z}^n{(-q^{(n-1)/2})}^{n(s+1-r)}.$

q-orthogonale Polynome

Die stetigen $q$-Hermitischen Polynome $\{H_n(x\mid q)\}$ sind durch folgende Rekursion gegeben

$2x{H}_n(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^n)H_{n-1}(x\mid q)$

mit Anfangswerten

$H_0(x\mid q)=1,H_1(x\mid q)=2x.$

Analysis

Das $q$-Analogon der Exponentialfunktion ist

$e_q^x:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{[n{]}_q!}.$

q-Kalkül

Das $q$-Analogon der Ableitung einer Funktion $f$ ist die Q-Differenz

$(D_{q}f)(x)=\frac{f(x)-f(qx)}{(1-q)x},$

dadurch entsteht das sogenannte $q$-Kalkül.

q-Taylorreihe

Das $q$-Analogon von $(x-a{)}^n$ ist

$(x-a{)}_q^n:=\prod _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),$

zusammen mit der $q$-Differenz und der $q$-Fakultät lässt sich nun ein $q$-Analogon zur Taylorreihe für $f$ herleiten

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{D_q^{n}f(a)(x-a{)}_q^n}{[n{]}_q!}.$

Literatur

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