Q-Differenz

Die q-Differenz ist das q-Analogon der Ableitung. Der Begriff taucht in der Kombinatorik, der Theorie der orthogonalen Polynome und dem Quanten-Kalkül auf.

q-Differenz-Operator

Der q-Differenz-Operator ist das diskrete Analogon zur gewöhnlichen Ableitung und definiert als

$(D_{q}f)(x)=\frac{f(x)-f(qx)}{(1-q)x}$.

Es gilt somit

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{q\to 1^{-}}(D_{q}f)(x)=f^{\prime }(x)$

und

$D_q{x}^n=\frac{1-q^n}{1-q}{x}^{n-1}=[n{]}_q{x}^{n-1}$

wobei $[n{]}_q$ das q-Analogon von $n$ ist.

q-Integral

Das q-Integral ist definiert als

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x){\mathrm{d}}_{q}x:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[a{q}^n-a{q}^{n+1}]f(a{q}^n)$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x){\mathrm{d}}_{q}x:=\underset{0}{\overset{b}{\int }}f(x){\mathrm{d}}_{q}x-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x){\mathrm{d}}_{q}x.$