Topologisch nilpotentes Element

Ein topologisch nilpotentes Element ist ein Element eines topologischen Ringes, dessen Potenzen gegen Null konvergieren. Diese Elemente finden Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei $A$ ein topologischer Ring. Ein Element $a\in A$ heißt topologisch nilpotent, falls die Folge $(a^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $0$ konvergiert. Das heißt, dass für jede offene Umgebung $U$ von $0$ ein $n\in \mathbb{N}$ existiert, sodass $a^n\in U$ ist.

Eigenschaften

• Jedes topologisch nilpotente Element ist potenz-beschränkt.
• Ist $a\in A$ topologisch nilpotent und $x\in A$ potenz-beschränkt, so ist $ax$ topologisch nilpotent.

Beispiele

• Ein Element $x\in ℝ$ ist genau dann topologisch nilpotent, wenn $|x|<1$ gilt.
• Ist allgemeiner $A$ ein topologischer kommutativer Ring, dessen Topologie von einem Betrag induziert wird, dann ist ein Element $x\in A$ genau dann topologisch nilpotent, wenn $|x|<1$ gilt. Ist der Betrag nicht-archimedisch, so bilden die topologisch nilpotenten Elemente ein Ideal $A^{\circ \circ }$ des Ringes der potenz-beschränkten Elemente $A^{\circ }$. Das folgt aus der ultrametrischen Ungleichung.

Literatur

• Wedhorn: Adic spaces