Rademacherverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\{-1,1\}$, die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf $\mathbb{Z}$ genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

Definition

Die Rademacherverteilung ist definiert auf $\{-1,1\}$ und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f(n)=\{\begin{array}{cc}0,5& \text{ falls }n=-1\\ 0,5& \text{ falls }n=1\end{array}$

Die Verteilungsfunktion ist dann

$F_X(t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ falls }t<-1\\ 0,5& \text{ falls }-1\le t<1\\ 1& \text{ falls }t\ge 1\end{array}$

Eigenschaften

Erwartungswert und andere Lagemaße

Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist

$\mathrm{E}(X)=0$.

Der Median ist

$\tilde{m}=0$.

Varianz

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

$\mathrm{Var}(X)={\sigma }_X=1$.

Symmetrie

Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.

Schiefe

Die Schiefe ist

$\mathrm{v}(X)=0$.

Exzess und Wölbung

Der Exzess der Rademacherverteilung ist

$\gamma =-2$.

Damit ist die Wölbung

${\beta }_2=1$.

Höhere Momente

Die $k$-ten Momente sind

$m_k=\left\{\begin{array}{cc}0& \text{ falls }k\text{ gerade}\\ 1& \text{ falls }k\text{ ungerade}\end{array}\right\}$

Entropie

Die Entropie ist

$\mathrm{H}(X)={\log }_2(2)$

gemessen in Bit.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

$g_X(t)=\ln (\cosh (t))$.

Damit ist die erste Ableitung

$g{\text{'}}_X(t)=\tanh (t)$

und daher ${\tau }_1=0$ die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

$M_X(t)=\cosh (t)$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

${\phi }_X(t)=\cos (t)$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Zweipunktverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit $a=-1,b=1,p=q=0,5$.

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf $x_1=-1,x_2=1$.

Beziehung zur Bernoulliverteilung

Sowohl die Bernoulliverteilung mit $p=q=0,5$ als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomialverteilung und der stochastischen Irrfahrt

Sind $X_1,X_2,\dots$ unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist

$Y_n:=\sum _{i=1}^n{X}_i$

genau die symmetrische einfache Irrfahrt auf $\mathbb{Z}$. Demnach ist

$0,5(n+\sum _{i=1}^n{X}_i)\sim Bin(n;0,5)$

also binomialverteilt.

Beziehung zur Laplaceverteilung

Ist $X$ rademacherverteilt, und ist $Y$ exponentialverteilt zum Parameter $\lambda$, so ist $X\cdot Y$ laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter $\frac{1}{\lambda }$.

Vorkommen

Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.