Zentrierte Kubikzahl

Eine zentrierte Kubikzahl ist eine Zahl, die die Summe zweier aufeinanderfolgender Kubikzahlen ist. Beispielsweise ist $35=8+27=2^3+3^3$ eine zentrierte Kubikzahl. Die ersten zentrierten Kubikzahlen sind

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, … (Vorlage:OEIS)

Die zentrierten Kubikzahlen sind die räumliche Erweiterung der zentrierten Quadratzahlen in die dritte Dimension.

Berechnung

Die $n$-te zentrierte Kubikzahl $Z{K}_n$ berechnet sich nach der Formel

$Z{K}_n=n^3+(n-1{)}^3=(2n-1)(n^2-n+1)=2n^3-3n^2+3n-1$

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen

Die $n$-te zentrierte Kubikzahl ist die Summe der ersten $n$ zentrierten Quadratzahlen.

$Z{K}_n=\sum _{k=1}^{n}Z{Q}_k=Z{Q}_1+...+Z{Q}_n$

Eigenschaften

• Alle zentrierten Kubikzahlen sind ungerade.
• Es gilt, wobei $Py{r}_n$ die $n$-te quadratische Pyramidalzahl ist,:

$Z{K}_n=Py{r}_n+4\cdot Py{r}_{n-1}+Py{r}_{n-2}.$

• Die Summe der Kehrwerte der zentrierten Kubikzahlen, also $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{Z{K}_k}$ ist konvergent.
• Die Form von zentrierten Kubikzahlen tritt in der Natur im Aufbau von Atomen auf.

Erzeugende Funktion

Die Funktion

$\frac{x(x^3+5x^2+5x+1)}{(x-1{)}^4}=x+9x^2+35x^3+91x^4+\dots$

enthält in ihrer Reihenentwicklung auf der linken Seite der Gleichung die Folge der zentrierten Kubikzahlen. Sie wird deshalb als erzeugende Funktion der Folge der zentrierten Kubikzahlen bezeichnet.

Weblinks

• Seite von Jutta Gut über dreidimensionale Figurierte Zahlen
• Vorlage:MathWorld