Zahmer Automorphismus

In der Mathematik sind zahme Automorphismen gewisse algebraische Automorphismen des affinen Raums.

Definition

Sei $K$ ein beliebiger Körper und $A^n$ der affine Raum über $K$. Eine algebraische Abbildung $f:A^n\to A^n$ ist eine Abbildung der Form

$f(x_1,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_n(x_1,\dots ,x_n))$

mit Polynomen $f_1,\dots ,f_n\in K[x_1,\dots ,x_n]$. Ein algebraischer Automorphismus ist eine algebraische Abbildung, zu der es eine algebraische Umkehrabbildung gibt.

Die Gruppe der algebraischen Automorphismen $Aut(A^n)$ enthält als Untergruppe die affine Gruppe

$Aff(A^n)=GL(n,K)⋉K^n$,

wobei $GL(n,K)$ die allgemeine lineare Gruppe ist und $K^n$ die Gruppe der Translationen. Weiter enthält $Aut(A^n)$ alle elementaren Automorphismen, also Automorphismen der Form

$f(x_1,\dots ,x_n)=(x_1+P(x_2,\dots ,x_n),x_2,\dots ,x_n)$

für ein Polynom $P$ in $n-1$ Variablen.

Die von $Aff(A^n)$ und den elementaren Automorphismen erzeugte Untergruppe von $Aut(A^n)$ heißt zahme Automorphismengruppe und ihre Elemente heißen zahme Automorphismen.

Beispiele

Für $n=2$ sind alle Automorphismen zahm. Für $n\ge 3$ und Körper der Charakteristik $0$ gibt es stets „wilde“ (d. h. nicht-zahme) Automorphismen. Für $n=3$ ist der Nagata-Automorphismus ein Beispiel eines „wilden“ Automorphismus. Er ist definiert durch

$f(x,y,z)=(x+(x^2-yz)z,y+2(x^2-yz)x+(x^2-yz)z,z)$.

Der Nagata-Automorphismus ist stabil zahm, d. h. er wird zahm nach Einführung weiterer Variablen.

Literatur

• S. Lamy: Une preuve geometrique du theoreme de Jung. Enseign. Math. 48, 291–315, 2002