Weylsche Integralformel

In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie-Gruppen, mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann. Sie ist nach Hermann Weyl benannt.

Aussage

Sei $G$ eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe, $T\subset G$ ein maximaler Torus und $f:G\to ℂ$ eine stetige Funktion. Dann ist

$\underset{G}{\int }f(g)dg=\frac{1}{\mathrm{\#}W}\underset{T}{\int }\det (\mathrm{Id}-{\mathrm{Ad}}_{G/T}(t^{-1}))\underset{G/T}{\int }f(gt{g}^{-1})dgdt$,

wobei $W$ die Weyl-Gruppe von $G$ und ${\mathrm{Ad}}_{G/T}:T\to \mathrm{Aut}(T_{e}G/T)$ die Einschränkung der adjungierten Darstellung $\mathrm{Ad}{\mid }_T$ auf den ersten Summanden der $\mathrm{Ad}{\mid }_T$-invarianten Zerlegung $𝔤=T_e(G/T)\oplus 𝔱$ bedeutet.

Spezialfall

Insbesondere erhält man für eine stetige Klassenfunktion

$\underset{G}{\int }f(g)dg=\frac{1}{\mathrm{\#}W}\underset{T}{\int }\det (\mathrm{Id}-{\mathrm{Ad}}_{G/T}(t^{-1}))f(t)dt$,

man braucht also nur über den maximalen Torus zu integrieren.

Erläuterungen

Es gilt

$\det (\mathrm{Id}-{\mathrm{Ad}}_{G/T}(t^{-1}))=\prod _{\alpha >0}(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2})$,

wobei $\alpha (t)$ vom Eigenwertproblem abhängt.

Beispiel

Für $G=𝕌(n)$ ergibt sich

$\underset{G}{\int }f(g)\mathrm{d}g=\frac{1}{n!}\underset{T}{\int }f(\mathrm{diag}(x_1,\dots ,x_n))|\mathrm{\Delta }{|}^2\prod _{i=1}^n\frac{\mathrm{d}{x}_i}{x_i}$,

wobei ${\mathrm{\Delta }}^2$ die Vandermonde-Determinante ist, außerdem ist $\mathrm{\#}W=n!$.

Beweis

Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch

$q(g,t)=gt{g}^{-1}$

definierten Abbildung

$q:G/T\times T\to G$,

nämlich

$\mathrm{deg}(q)=\mathrm{\#}W$

für den Abbildungsgrad und

$\det (\mathrm{d}q(gT,t))=\det ({\mathrm{Ad}}_{G/T}(t^{-1})-\mathrm{Id})$

für die Determinante des Differentials von $q$.

Literatur

• T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups. Springer Verlag New York 1985.
• M. Sepanski: Compact Lie groups. Springer Verlag New York 2007.