Wannier-Darstellung

Dreidimensionales Modell der Wannier-Funktion von BaTiO₃

Die nach dem Schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den Bloch-Funktionen lässt sich jedoch eine Orthonormalbasis lokalisierter Zustände konstruieren:

${\omega }_{mn}(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{R}}_m)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _k{e}^{-i\overrightarrow{k}{\overrightarrow{R}}_m}\cdot {\psi }_{n\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r})$

Dabei ist

• ${\psi }_{n\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r})$ eine Bloch-Funktion
• ${\omega }_{in}(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{R}}_m)$ der zugehörige Wannier-Zustand
• $e$ die Eulersche Zahl
• $i$ die imaginäre Einheit
• $\overrightarrow{k}$ der Wellenvektor
• $\overrightarrow{r}$ der Ortsvektor
• $n$ der Bandindex.

Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann

${\psi }_{n\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r})=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{{\overrightarrow{R}}_m}{e}^{i\overrightarrow{k}{\overrightarrow{R}}_m}\cdot {\omega }_{in}(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{R}}_m)$

Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):

${\omega }_{in}(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{R}}_m)=\sum _{n\in U}{a}_n\cdot {\phi }_n(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{R}}_m)$

Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände ${\phi }_n(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{R}}_m)$ dar.

Literatur

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