Vollständige Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist eine vollständige Kategorie eine Kategorie, die alle kleinen Limiten besitzt. Das heißt, dass für jede kleine Kategorie $ℐ$ und jeden Funktor $D:ℐ\to 𝒞$ in der Kategorie $𝒞$ der Limes von $D$ in $𝒞$ existiert.

Dual dazu heißt eine Kategorie kovollständig, falls sie alle kleinen Kolimiten besitzt. Das ist gleichbedeutend damit, dass die duale Kategorie ${𝒞}^{op}$ vollständig ist.

Existieren alle Limiten (bzw. Kolimiten) für eine feste kleine Kategorie $ℐ$, so sagt man, $𝒞$ sei $ℐ$-vollständig (bzw. $ℐ$-kovollständig).

Ist $𝒞$ $ℐ$-vollständig (bzw. $ℐ$-kovollständig) für alle endlichen Kategorien $ℐ$, so nennt man $𝒞$ endlich vollständig (bzw. endlich kovollständig).

Beispiele

• Die Kategorie $𝐒𝐞𝐭$ aller Mengen ist vollständig und kovollständig.
• Jede Kategorie algebraischer Strukturen mit endlichstelligen Verknüpfungen ist vollständig und kovollständig. Darunter fallen beispielsweise Gruppen, abelsche Gruppen, Ringe und kommutative Ringe.
• Ist $R$ ein Ring, so ist die Kategorie der $R$-Linksmoduln vollständig und kovollständig.
• Die Kategorie $𝐓𝐨𝐩$ aller topologischen Räume ist vollständig und kovollständig.
• Ist $𝐎𝐫𝐝$ die Klasse aller Ordinalzahlen, so erhält man daraus eine Kategorie mit $𝐎𝐫𝐝$ als Klasse der Objekte. Die Morphismen sind die bestehenden Relationen $\alpha \le \beta$ zwischen zwei Ordinalzahlen, d. h. $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\alpha ,\beta )$ ist eine einelementige Menge, falls $\alpha \le \beta$, anderenfalls leer. Dann ist diese Kategorie kovollständig aber nicht vollständig.
• Die Kategorie der endlichen Mengen ist endlich vollständig und endlich kovollständig, aber weder vollständig noch kovollständig.
• Es sei $\mathrm{𝟐}$ die kleine Kategorie mit zwei Objekten 0 und 1 und drei Morphismen, nämlich den beiden Identitäten und einem weiteren Morphismus $0\to 1$. Dann ist jede Kategorie $\mathrm{𝟐}$-vollständig.
• Für die leere Kategorie $ℐ=\mathrm{\varnothing }$ gilt: Eine Kategorie ist genau dann $\mathrm{\varnothing }$-vollständig, wenn sie ein terminales Objekt besitzt. Ganz ähnlich kann man die Existenz von endlichen Produkten oder Pullbacks als geeignete $ℐ$-Vollständigkeiten beschreiben.

Vollständigkeit und Kovollständigkeit

In obiger Beispielliste fällt auf, dass Vollständigkeit und Kovollständigkeit für die gängigen Kategorien einhergehen, das Ausnahmebeispiel der Ordinalzahlen wirkt konstruiert. Tatsächlich besteht folgender enger Zusammenhang:

Sei $𝒞$ eine vollständige Kategorie mit folgenden beiden Eigenschaften:

• Für jedes Objekt $C$ ist die Klasse der Unterobjekte (Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel $C$) eine Menge.
• $𝒞$ hat einen Koseparator $S$, das heißt zu je zwei verschiedenen Morphismen $f,g:A\to B$ gibt es einen Morphismus $h:B\to S$ mit $h\circ f=h\circ g$.

Dann ist $𝒞$ kovollständig (und ${𝒞}^{op}$ erfüllt auch die erste der Eigenschaften).