Verschobene Pareto-Verteilung

Die verschobene Pareto-Verteilung, auch Lomax-Verteilung genannt, ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen. Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der verschobenen Pareto-Verteilung $\mathrm{P}\mathrm{a}{\mathrm{r}}^{\mathrm{\star }}(a,b)$ mit den Parametern $a>0$ und $b>0$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\{\begin{array}{cc}ab(1+bx{)}^{-(a+1)}& x\ge 0\\ 0& x<0.\end{array}$

besitzt. Hierbei ist $\frac{1}{b}$ ein Skalenparameter der Verteilung.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist für $x\ge 0$ gegeben durch

$F(x)=P(X\le x)=1-(1+bx{)}^{-a}$.

Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: $P(X>x)=1-F(x)=(1+bx{)}^{-a}$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

$\mathrm{E}(X)=\frac{1}{b(a-1)}.$

Varianz

Die Varianz ist angebbar als

$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{b^2}(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1{)}^2})=\frac{a}{b^2(a-1{)}^2(a-2)}.$

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

$\sigma (X)=\sqrt{\frac{1}{b^2}(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1{)}^2})}=\frac{1}{b(a-1)}\sqrt{\frac{a}{a-2}}.$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

$\mathrm{VarK}(X)=\sqrt{\frac{a}{a-2}}.$

Schiefe

Für die Schiefe resultiert

$\mathrm{v}(X)=\frac{\frac{a}{a-3}-3\frac{a^2}{(a-2)(a-1)}+2\frac{a^3}{(a-1{)}^3}}{{(\frac{a}{a-2}-\frac{a^2}{(a-1{)}^2})}^{\frac{3}{2}}}.$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Literatur

• Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.