Verlet-Algorithmus

Der Verlet-Algorithmus ist eine Methode zur numerischen Lösung der Newton’schen Bewegungsgleichungen. Er entsteht aus dem Leapfrog-Verfahren durch Elimination der Geschwindigkeitsberechnungen. Der Verlet-Algorithmus wird oft bei Molekulardynamik-Simulationen in der theoretischen Chemie verwendet. Der Algorithmus ist nach Loup Verlet benannt.

Herleitung

Es werden zwei Taylor-Entwicklungen dritter Ordnung der Position $\overrightarrow{x}(t)$ aufgestellt. Dabei wird eine davon vorwärts $(t+\mathrm{\Delta }t)$ und eine rückwärts $(t-\mathrm{\Delta }t)$ in der Zeit entwickelt. Hierbei ist $\overrightarrow{v}$ die Geschwindigkeit und $\overrightarrow{a}$ die Beschleunigung.

$\overrightarrow{x}(t+\mathrm{\Delta }t)=\overrightarrow{x}(t)+\overrightarrow{v}(t)\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}(t)\mathrm{\Delta }{t}^2+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}\mathrm{\Delta }{t}^3+O(\mathrm{\Delta }{t}^4)$

$\overrightarrow{x}(t-\mathrm{\Delta }t)=\overrightarrow{x}(t)-\overrightarrow{v}(t)\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}(t)\mathrm{\Delta }{t}^2-\frac{1}{6}\overrightarrow{b}\mathrm{\Delta }{t}^3+O(\mathrm{\Delta }{t}^4)$

Addition der beiden Gleichungen ergibt

$\overrightarrow{x}(t+\mathrm{\Delta }t)=2\overrightarrow{x}(t)-\overrightarrow{x}(t-\mathrm{\Delta }t)+\overrightarrow{a}(t)\mathrm{\Delta }{t}^2+O(\mathrm{\Delta }{t}^4)$.

Dies ist die allgemeine Gleichung des Verlet-Algorithmus. Die Beschleunigung $\overrightarrow{a}(t)$ hängt dabei vom Potenzial $V$ und der Masse des Teilchens $m$ ab, sie kann mit

$\overrightarrow{a}(t)=-\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }V(x(t))=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$

bestimmt werden.

Anwendung

Ist die Position ${\overrightarrow{x}}_0$ bekannt, muss zuerst die Position ${\overrightarrow{x}}_1$ über

${\overrightarrow{x}}_1={\overrightarrow{x}}_0+{\overrightarrow{v}}_0\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}_0\mathrm{\Delta }{t}^2$

bestimmt werden. Sind dann die Positionen ${\overrightarrow{x}}_0$ und ${\overrightarrow{x}}_1$ bekannt, können über Iteration des Verlet-Algorithmus alle folgenden ${\overrightarrow{x}}_n$ bestimmt werden.

${\overrightarrow{x}}_{n+1}=2{\overrightarrow{x}}_n-{\overrightarrow{x}}_{n-1}+{\overrightarrow{a}}_n\mathrm{\Delta }{t}^2$

Der Verlet-Algorithmus liefert nur Positionen und keine Geschwindigkeiten. Diese müssen deshalb extra bestimmt werden, um daraus $E_{kin}$ und damit die Gesamtenergie zu berechnen. Dies ist notwendig, um die Energieerhaltung zu überprüfen.

Weblinks

• Alexander Fulst, Christian Schwermann: Molekulardynamiksimulation. S. 7–10.
• Thomas Jacobsen: Advanced Character Physics. In: Gamasutra. (englisch)