Verallgemeinerte Konvexität

Die verallgemeinerte Konvexität (Vorlage:EnS) ist eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Konvexitätsbegriff für Funktionen und Mengen, die sich insbesondere bei der Behandlung nicht-konvexer Optimierungsprobleme als nützlich erweist.

Φ-Konvexität

Gegeben sei eine Menge $X\ne \mathrm{\varnothing }$ und die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $ℝ$

$F(X)=\{\phi \mid \phi :X\to ℝ\}$

Eine Menge $\mathrm{\Phi }\subseteq F(X)$ heißt Referenzsystem für $X$ genau dann, wenn gilt:

1. $\mathrm{\forall }\phi \in \mathrm{\Phi },\lambda \ge 0:\lambda \phi \in \mathrm{\Phi }$
2. $\mathrm{\forall }\phi \in \mathrm{\Phi },c\in ℝ:\phi +c\in \mathrm{\Phi }$

Φ-konvexe Funktion

Eine (erweiterte) reellwertige Funktion $f:X\mapsto \overline{ℝ}$ heißt $\mathrm{\Phi }$-konvex genau dann, wenn eine Menge ${\mathrm{\Phi }}_0\subset \mathrm{\Phi }$ existiert, so dass

$f(x)=\underset{\phi \in {\mathrm{\Phi }}_0}{\sup }\phi (x)$

gilt.

Φ-konvexe Menge

Eine Menge $A\subseteq X$ heißt $\mathrm{\Phi }$-konvex genau dann, wenn es eine Menge ${\mathrm{\Phi }}_0\subseteq \mathrm{\Phi }$ gibt und zu jedem $\phi \in {\mathrm{\Phi }}_0$ ein $a_{\phi }$ existiert, so dass

$A=\bigcap _{\phi \in {\mathrm{\Phi }}_0}\{x\in X:\phi (x)\le a_{\varphi }\}$

Beispiele

• Nimmt man zum Beispiel als Referenzsystem die affinen Funktionen, also $\mathrm{\Phi }=\{\phi |\phi (x)=⟨v,x⟩+c,v\in {ℝ}^n,c\in ℝ\}$, dann stimmt die $\mathrm{\Phi }$-Konvexität mit der gewöhnlichen Konvexität überein.

• Die Lipschitz-stetigen Funktionen sind zum Referenzsystem der peak-Funktionen $\mathrm{\Phi }=\{\phi |\phi (x)=-k\cdot d(x,x_0)+c,x_0\in X,c\in ℝ\}$ $\mathrm{\Phi }$-konvex.

Siehe auch

• Konvexe Funktion
• Konvexe Menge
• Konvexe Optimierung

Literatur

• Vorlage:Literatur
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