Urysohn-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind Urysohn-Räume (benannt nach Pavel Urysohn) spezielle topologische Räume, die gewisse Eigenschaften erfüllen.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte $x$ und $y$ durch abgeschlossene Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen von $x$ und $y$ existieren.

$X$ ist ein Urysohn-Raum, falls je zwei verschiedene Punkte durch abgeschlossene Mengen getrennt sind. Man sagt auch, dass $X$ das Trennungsaxiom T_2½ erfüllt.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

Jeder Urysohn-Raum ist ein Hausdorff-Raum und erfüllt somit die Trennungsaxiome $T_0,T_1$ und $T_2$.

Andererseits ist jeder reguläre Hausdorff-Raum wie auch jeder vollständige Hausdorff-Raum ein Urysohn-Raum.

Beispiel

Im Folgenden konstruieren wir einen topologischen Raum, der ein Urysohn-Raum, aber kein regulärer Raum und auch kein vollständiger Hausdorff-Raum ist. Sei dazu $S$ die Menge der rationalen Punkte im Einheitsquadrat in ${\mathbb{Q}}^2$, ohne die Paare, mit der ersten Koordinate $\frac{1}{2}$. Weiter sei $X$ die Menge $S$ vereinigt mit den Punkten $(0,0)$ und $(1,0)$ und allen Punkten $(1/2,r\sqrt{2})$, wobei $r$ über alle rationalen Zahlen $0<r<1/\sqrt{2}$ läuft. Die offenen Mengen sind durch folgende Umgebungsbasen gegeben:

• für die Punkte aus $S$ die von der euklidischen Topologie induzierten,
• für $(0,0)$ die Punkte der Form $(x,y)$, wobei $0<x<1/4$ und $0<y<1/n$ für alle natürlichen Zahlen $n$ zusammen mit $(0,0)$,
• für $(1,0)$ die Punkte der Form $(x,y)$, wobei $3/4<x<1$ und $0<y<1/n$ für alle natürlichen Zahlen $n$, zusammen mit $(1,0)$,
• für $(1/2,r\sqrt{2})$ die Punkte der Form $(x,y)$, wobei $1/4<x<3/4$ und $|y-r\sqrt{2}|<1/n$.

Bemerkung zur Bezeichnung

In einem vollständigen Hausdorff-Raum gibt es definitionsgemäß zu je zwei verschiedenen Punkten eine Urysohn-Funktion, so dass es durchaus naheliegend wäre, die Definitionen für Urysohn-Raum und vollständiger Hausdorff-Raum auszutauschen. Genau das ist im unten angegebenen Buch Counterexamples in Topology geschehen. Man sollte daher die von einem Autor verwendeten Definitionen prüfen.