U-Statistik

Eine U-Statistik ist ein erwartungstreuer Schätzer im Bereich der asymptotischen Statistik. Sie wurde 1948 von Wassily Hoeffding erstmals definiert, wobei das „U“ für die Unverzerrtheit des Schätzers steht.

Definition

Sei $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\left(X_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge (stochastisch) unabhängiger und identisch verteilter $d$-dimensionaler Zufallsvektoren mit Verteilungsfunktion $F:{ℝ}^d\to [0,1]$. Weiter seien $k,m\in \mathbb{N}$ mit $k\le m$ und $\psi :({ℝ}^d{)}^k\to ℝ$ eine messbare und symmetrische Funktion, wofür das zweite Moment existiert. Dann heißt U-Statistik der Ordnung k mit Kern $\psi$ die Zufallsvariable

$U_m:=U_m(X_1,\dots ,X_m):=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})}\sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le m}\psi (X_{i_1},\dots ,X_{i_k})$

Bemerkungen

Es handelt sich bei der U-Statistik um einen Sonderfall der V-Statistik, die 1947 durch Richard von Mises eingeführt wurden. Diese beschreiben die asymptotische Verteilung der sogenannten von-Mises-Funktionalen und werden zur Verwirrung der Allgemeinheit ebenfalls so genannt.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung der U-Statistik wurde 1951 durch Lehmann formuliert.

Beispiele

Für die ersten niedrigen Werte für $k$ folgen bei bestimmter Wahl von $\psi$ der zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy, die Stichprobenvarianz, Ginis mittlere absolute Differenz, die Stichprobenkovarianz, Wilcoxons Ein-Stichproben-Statistik oder auch Kendalls Tau.

Literatur

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